東京工業大学 後期 2001年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 後期
年度 2001年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.6zw}\parbox{132mm}{\quad\,$n=1,\ 2,\ 3,\ \3dots\ に対して\ a_n=\tan(11\,n)\ とおく。このとき,次の\, \raisebox{.5pt}{(1)}\,~\,\raisebox{.5pt}{(4)} \\[1mm] を示せ。ただし,\ \ \pi=3\makebox[4pt][c]{.}14159265\,\raisebox{.5pt} {\3dots}\ は円周率である。\displaystyle \\[5mm] (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \,\frac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}{\ 711\ } <11-\frac{\ \raisebox{-.4mm}{$7\,\pi$}\ }{2}<\frac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}} {\ 709\ }\hspace*{1pt}. \\[5mm] (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \ a_1\,\mbox{\Large$<$}\,0\,\mbox{\Large$<$}\, a_2\hspace*{1pt}. \\[5mm] (\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \ a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7,\ \3dots,\ a_{707},\ a_{709}\ は増加数列である。\\[5mm] (\makebox[1.5mm][c]{4})\ \ \,無限数列\ a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7,\ \3dots\ は 増加数列ではない。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\[1mm] \makebox[12zw][l]{(1)\hfill $\Bigl(11-\dfrac{\,7\pi\,}{2}\Bigr) -\dfrac{\pi}{\,711\,}$}=11-\frac{\,4979\,}{1422}\pi \\[2mm] \hspace*{12zw} =\frac{\,15642-4979\pi\,}{1422} \\[1.5mm]\hspace*{12zw} >\frac{\,15642-4979\times 3\makebox[4pt][c]{.}141593\,}{1422} \\[1.7mm] \hspace*{14zw} =\frac{\,15642-15641\makebox[4pt][c]{.}991547\,}{1422}>0 \\ [4mm]\makebox[12zw][r]{$\dfrac{\pi}{\,709\,}-\Bigl(11-\dfrac{\,7\pi\,}{2} \Bigr)$}=\frac{\,4965\,}{1418}\pi-11 \\[2mm] \hspace*{12zw} =\frac{\,4965\pi-15598\,}{1418} \\[1.5mm]\hspace*{12zw} >\frac{\,4965\times 3\makebox[4pt][c]{.}141592-15598\,}{1418} \\[1.7mm] \hspace*{14zw} =\frac{\,15598\makebox[4pt][c]{.}00428-15598\,}{1418}>0 \\ [2mm]\quad より \\[.5mm]\hspace*{6zw} \frac{\pi}{\,711\,}<11-\frac{\,7\pi\,}{2}<\frac{\pi}{\,709\,} \\[-3mm] \hfill \paalen{おわり} \\[4mm] \ \ \paalen{注}\ \ 3\makebox[4pt][c]{.}14159<\pi<3\makebox[4pt][c]{.}1416では 評価が甘く,\\ \hspace*{7zw} 4965\times 3\makebox[4pt][c]{.}14159=15597\makebox[4pt][c]{.}99435,\ \ 4979\times 3\makebox[4pt][c]{.}1416=15642\makebox[4pt][c]{.}0264 \\[.3mm] \qquad となって,証明は完結しない。$ \newpage\noindent \raisebox{.5pt}{(2)\ \ (1)}の不等式より $\displaystyle \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,7\,}{2}\pi+\frac{\pi}{\,711\,}<11 <\frac{\,7\,}{2}\pi+\frac{\pi}{\,709\,} \\[2mm] \quad 特に \\[.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,7\,}{2}\pi<11<4\pi \\[2mm] \quad であるから,\\ \hspace*{6zw} a_1^{}=\tan 11<0 \\[.5mm] \quad また,\\[.5mm] \hspace*{6zw} 7\pi+\frac{2\pi}{\,711\,}<22<7\pi+\frac{2\pi}{\,709\,} \\[2mm] \quad より \\ \hspace*{6zw} 7\pi<22<7\pi+\frac{\pi}{\,2\,} \\[2mm] \quad であるから,\\ \hspace*{6zw} a_2^{}=\tan 22>0 \hspace*{5zw} \therefore\,\ a_1^{}<0<a_2^{} \hfill \paalen{おわり} \\[4mm] (3)\ \ \,n=2k-1\ \,(k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 355)\ のとき,\ \ \raisebox{.5pt} {(1)}の不等式より \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \frac{\,7(2k-1)\,}{2}\pi+\frac{\,2k-1\,}{711}\pi<11n <\frac{\,7(2k-1)\,}{2}\pi+\frac{\,2k-1\,}{709}\pi \\[2mm] \quad\, \theta_k=11(2k-1)-(7k-3)\pi\ とおくと \\[1.5mm] \hspace*{6zw} a_{2k-1}^{}=\tan\theta_k,\ \ -\frac{\pi}{\,2\,}<\theta_k <\frac{\pi}{\,2\,} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 355) \\[2mm] \quad であり,\\[1mm] \hspace*{5zw} \frac{\,2k+1\,}{711}\pi-\frac{\,2k-1\,}{709}\pi =\frac{\,1420-4k\ }{711\times 709}\pi\geqq \frac{\,1420-4\times 355\,} {711\times 709}\pi=0 \\[2mm] \quad より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \theta_k<-\frac{\,\pi\,}{2}+\frac{\,2k-1\,}{709}\pi\leqq -\frac{\,\pi\,}{2}+\frac{\,2k+1\,}{711}\pi<\theta_{k+1} \\[2mm] \quad であるから,\\[1mm] \hspace*{6zw} -\frac{\,\pi\,}{2}<\theta_1^{}<\theta_2^{}<\cdots <\theta_{355}^{}<\frac{\,\pi\,}{2} \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ a_1^{}<a_3^{}<a_5^{}<\cdots<a_{707}^{} <a_{709}^{} \hfill \paalen{おわり} \\[4mm] \raisebox{.5pt}{(4)\ \ (1)}の不等式の各辺に709をかけると \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,7\,}{2}\pi\times 709+\frac{\,709\,}{711}\pi <11\times 709<\frac{\,7\,}{2}\pi\times 709+\pi \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \Bigl(2481\pi+\frac{\,\pi\,}{2}\Bigr)+\frac{\,709\,}{711}\pi <7799<\Bigl(2481\pi+\frac{\,\pi\,}{2}\Bigr)+\pi \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ 2482\pi<7799<2482\pi+\frac{\,\pi\,}{2} \\[2mm] \quad \raisebox{.5pt}{(1)}の不等式の各辺に711をかけると \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,7\,}{2}\pi\times 711+\pi<11\times 711 <\frac{\,7\,}{2}\pi\times 711+\frac{\,711\,}{709}\pi \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \Bigl(2488\pi+\frac{\,\pi\,}{2}\Bigr)+\pi<7821 <\Bigl(2488\pi+\frac{\,\pi\,}{2}\Bigr)+\pi+\frac{2}{\,709\,}\pi \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ 2489\pi+\frac{\,\pi\,}{2}<7821<2490\pi \\[2mm] \quad よって,\\[-.5mm] \hspace*{6zw} a_{711}^{}=\tan 7821<0<a_{709}^{}=\tan 7799 \\[.5mm] \quad となるから,\ \ a_1^{},\ a_3^{},\ a_5^{},\ \cdots,\ a_{709}^{},\ a_{711}^{},\ \cdots\ は増加数列ではない。\hfill \paalen{おわり}$ \end{document}