同志社大学 全学部<理> 2009年度 問2

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解答作成者: 中瀬古 佳史

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入試情報

大学名 同志社大学
学科・方式 全学部<理>
年度 2009年度
問No 問2
学部 理工学部 ・ 生命医科学部 ・ 文化情報学部<理>
カテゴリ 微分法 ・ 積分法 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j,11pt]{jsarticlek} \usepackage{emath,emathMw,emathP,emathPp} \makeatletter \let\emdfrac\dfrac \let\emmod\mod \let\emdegreee\degree \let\emnagamaru\nagamaru \let\emMaru\Maru \let\dfrac\@undefined \let\mod\@undefined \let\degree\@undefined \let\nagamaru\@undefined \let\Maru\@undefined \makeatother \usepackage{ceo} % ここから \let\dfrac\emdfrac \let\mod\emmod \let\degreee\emdegree \let\nagamaru\emnagamaru \let\Maru\emMaru \setlength{\topmargin}{-5.4truemm} \setlength{\headheight}{0truemm}% ヘッダーの高さを確保 \setlength{\headsep}{0zh}% ヘッダーと本文領域の幅を確保 \setlength{\textheight}{257truemm}% その分,本文領域を低くする \setlength{\footskip}{10truemm} \setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\evensidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\marginparwidth}{0truemm} \setlength{\marginparsep}{0truemm} \setlength{\textwidth}{170truemm} \renewcommand{\baselinestretch}{1.2} \enumSep{\topsep=1pt\parskip=0pt\parsep=0pt\itemsep=1pt} \def\syutten#1#2{\hfill{}(#1 \,\, #2)} \def\syuttenn#1{\hfill{} (#1)} \def\h25{\hspace{.25zw}} \def\mannaka#1{\hfill{} #1 \hfill{}} \def\betumath#1{\hspace{3zw} #1} \def\douti{ \,\, \doti \,\,} \def\fb3{\fbox{   }} \begin{document} \setcounter{mondaibango}{1} \begin{jituwaku} \begin{mondai}\h25 次の \kakkoichi,\kakkoni の問いに答えよ. \begin{shomon} $F(x)=\bunsuu{1}{2}x+\dint{0}{x}(t-x)\sin{t}\,dt$ とおく. \begin{shimon} 導関数 $F'(x)$ および第2次導関数 $F''(x)$ を求めよ. \end{shimon} \begin{shimon} $0 \leq x \leq \pi$ における $F(x)$ の最大値と最小値を求めよ. \end{shimon} \end{shomon} \begin{shomon} $E$ を2次の単位行列として,2次の正方行列 $A=\mat[a,b,b,c]$ が $A^2=E$ をみたすとする.ただし,$a,\,\,b,\,\,c$ は実数であり,$b>0$ とする. \setcounter{shimonbango}{0} \begin{shimon} $a$ の値が取り得る範囲を求めよ.また,$a$ の値がその範囲にあるとき,$b$ および $c$ を $a$ で表せ. \end{shimon} \begin{shimon} $A \tvec[x,1]=-\tvec[x,1]$ をみたす $x$ を $a$ で表せ. \end{shimon} \end{shomon} \end{mondai} \end{jituwaku} \noindent\kai \begin{shomonb} $F(x)=\bunsuu{1}{2}x+\dint{0}{x}(t-x)\sin{t}\,dt=\bunsuu{1}{2}x+\dint{0}{x}t\sin{t}\,dt-x\dint{0}{x}\sin{t}\,dt \cdots\cdots \mruichi$ とおく. \begin{shimonb} $\begin{aligned}[t] F'(x) &=\bunsuu{1}{2}+x\sin{x}-\left( 1 \cdot \dint{0}{x}\sin{t}\,dt+x\sin{x}\right) \\[-3pt] &=\bunsuu{1}{2}+x\sin{x}-\tint{-\cos{t}}{0}{x}-x\sin{x} \\[-3pt] &=\bunsuu{1}{2}+\cos{x}-1 \\[-3pt] &=\bd{\cos{x}-\bunsuu{1}{2}} \cdots\cdots \mruni \end{aligned}$ \\ また,$F''(x)=\bd{-\sin{x}}$ \end{shimonb} \begin{shimonb} $\mruni$ より,$F(x)=\sin{x}-\bunsuu{1}{2}x+C \,\,(Cは積分定数)$ で,$\mruichi$ より $F(0)=0$ だから,$C=0$ \\ よって,$F(x)=\sin{x}-\bunsuu{1}{2}x$ であり,$F(x)$ の増減は次のようになる. \RESETKEYA \setkeys{zogen}{% hensu=x,ranaa=0,ranac=\bunsuu{\pi}{3},ranae=\pi, kansub=F'(x),ranbb=+,ranbc=0,ranbd=-, kansuc=F(x),ranca=0,rancb=\nearrow,rancc=\bunsuu{\sqrt{3}}{2}-\bunsuu{\pi}{6},rancd=\searrow,rance=-\bunsuu{\pi}{2} } \zogen(3,5) したがって,最大値は $\bd{\bunsuu{\sqrt{3}}{2}-\bunsuu{\pi}{6}}$,最小値は $\bd{-\bunsuu{\pi}{2}}$ \end{shimonb} \end{shomonb} \begin{shomonb} \setcounter{shimonbbango}{0} \begin{shimonb} $A^2=\mat[a,b,b,c]\mat[a,b,b,c]=\mat[a^2+b^2,b(a+c),b(a+c),b^2+c^2]$ で,これが $E=\mat[1,0,0,1]$ に等しいから,各成分を比較して,$a^2+b^2=1 \cdots\cdots \mruichi \quad b(a+c)=0 \cdots\cdots \mruni \quad b^2+c^2=1 \cdots\cdots \mrusan$ \\ $b>0$ と $\mruichi$ より $b^2=1-a^2>0$ \quad $\yueni \,\, \bd{-1<a<1}$,このとき $\bd{b=\sqrt{1-a^2}}$ \\ また,$b>0$ と $\mruni$ より $a+c=0$ \quad $\yueni \,\, \bd{c=-a}$ \\ 求めた $b,\,\,c$ は $\mrusan$ もみたす. \end{shimonb} \begin{shimonb} 条件より,$\mat[a,b,b,c]\tvec[x,1]=-\tvec[x,1]$ \quad $\yueni \,\, \tvec[ax+b,bx+c]=-\tvec[x,1]$ \\ 各成分を比較して,$ax+b=-x \cdots\cdots \mrushi$ \quad $bx+c=-1 \cdots\cdots \mrugo$ \\ $\mrushi$ より,$(a+1)x=-b$ であり,\tokeiichi より $a \neq -1$ だから,$x=-\bunsuu{b}{a+1}=\bd{-\bunsuu{\sqrt{1-a^2}}{a+1}}$ \\ この $x$ は $\mrugo$ もみたす. \end{shimonb} \end{shomonb} \end{document}