大阪府立大学 前期<工・生命・理> 2009年度 問3

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解答作成者: 1987yama3

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入試情報

大学名 大阪府立大学
学科・方式 前期<工・生命・理>
年度 2009年度
問No 問3
学部 工学部 ・ 生命環境科学部 ・ 理学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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%\usepackage{suseum_custom} %\begin{FRAME} \section*{問題} 四角形ABCDの頂点$A, B, C, D$の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする. このとき, 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item $\triangle ABC$の重心を$G$とする. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GD}}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表せ. \item 線分$GD$を$2:3$に内分する点を$P$とし, 線分$AC$の中点を$M$とする. 線分$MD$の中点を$Q$とするとき, 3点$B, P, Q$は一直線上にあることを示せ. \item 点$M$と点$P$が一致するとき, $\triangle$ABCと$\triangle$ACDの面積の比を求めよ. \end{enumerate} %\end{FRAME} \section*{解答} 以下, 点$X$への位置ベクトルを$\vec{x}$のように対応する小文字で記述することとする. \begin{enumerate} \item $\displaystyle \vec{g} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$より, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GC}} = \vec{d}-\vec{g} = -\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c} + \vec{d}$. \item $\displaystyle \vec{p} = \frac{1}{5} \left( 3\vec{g} + 2\vec{d} \right) = \frac{1}{5} \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right) + \frac{2}{5}\vec{d} = \frac{1}{5} \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + 2\vec{d} \right)$. また, $\displaystyle \vec{m} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$であるから, $\vec{q} = \frac{1}{2} \left( \vec{m} + \vec{d} \right) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}$. \\ よって, \begin{itemize} \item $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BP}} = \vec{p} - \vec{b} = \frac{1}{5}\vec{a} - \frac{4}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{c} + \frac{2}{5}\vec{d}$. \item $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}} = \vec{q} - \vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}$. \end{itemize} となる. 以上より, $\displaystyle \frac{4}{5}\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = \overrightarrow{\mathrm{BP}}$であるため, $3$点$B, P, Q$は一直線上にある. \item 2.より, $BM:MQ = BP:PQ = 4:1$である. さらに, $Q$は線分$MD$の中点であることから, $BM:MD=2:1$である. よって, $\triangle$ABCと, $\triangle$ACDの面積比は$2:1$となる. \end{enumerate}