すうじあむ

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$(1)　x=1において連続可能なので$ $\lim\limits_{x\to +0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{x\to -0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}が成立するということ$ $つまり\lim\limits_{x\to +0}\frac{a(1+h)^2+b(1+h)+c-(a+b+c)}{h}=\lim\limits_{x\to -0}\frac{(1+h)^3-(1+h)^2+2-(1-1+2)}{h}\,\,となり\,\,2a+b=1$ $また微分可能ということは,その部分では連続であるので$ $1^3-1^2+2=a+b+c\,\,より\,\,a+b+c=2$ $f(3)=0\,\,より\,\,9a+3b+c=0$ $これら3式を連立することにより,a=-1,b=3,c=0\,\,となる$ \\ $(2)　y_1=x^3-x^2+2\,\,\,(x\le 1)　y_2=-x^2+3x\,\,\,(x>1)とおく$ $y'_1=3x^2-2x=3x(x-\frac{2}{3})\,\,より\,\,y'_1=0\,\,のときx=0,\frac{2}{3}$ $y'_2=--2x+3\,\,より\,\,y'_2=0\,\,のときx=\frac{3}{2}$ $増減表は$ $ \left. \begin{array}{l|l|l|l|l|l|l} x & \ldots & 0 & \ldots & \frac{2}{3} & \ldots & 1 \\ \hline y'_1 & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline y_1 & \nearrow & 2 & \searrow & \frac{50}{27} & \nearrow & 2 \end{array} \right. 　　　\left. \begin{array}{l|l|l|l|l} x & 1 & \ldots & \frac{3}{2} & \ldots \\ \hline y'_2 & & + & 0 & - \\ \hline y_2 & 2 & \nearrow & \frac{9}{4} & \searrow \end{array} \right. $ \\ $また\,\,y'_1\,\,もしくは\,\,y'_2\,\,にx=1\,\,を代入し,接線の方程式\,l \,を求めると\,\,l:y=x+1$ $y_1\,と\,l \,の交点はx^3-x^2+2=x+1$ $x^3-x^2-x+1=0$ $(x-1)(x^2-1)=0$ $(x-1)^2(x+1)=0 \Leftrightarrow x=1,-1\,\,より$ $よって\,\,\int_{-1}^{1} \{x^3-x^2+2-(x+1)\}dx=\frac{1}{6}(1+1)^3=\frac{4}{3}$ $また,y_1\,と\,l \,の交点は-x^2+3x=x+1$ $x^2-2x+1=0$ $(x-1)^2=0 \Leftrightarrow x=1$ $よって\,\,\frac{1}{2}\times 2 \times 2+\int_{1}^{3}(-x^2+3x)dx=2+[-\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2]_1^3=\frac{16}{3}$ \\ \\ $<解説>$ $(2)の最終部分,y_2と接線との面積ですが,グラフ(近日公開)より,\int_{3}^{1}(-x^2+3x)dx\,\,と\,\,長さ2の直角二等辺三角形ができることに注意する必要があります$