大阪府立大学 前期<工・生命・理> 2009年度 問2

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解答作成者: 1987yama3

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入試情報

大学名 大阪府立大学
学科・方式 前期<工・生命・理>
年度 2009年度
問No 問2
学部 工学部 ・ 生命環境科学部 ・ 理学部
カテゴリ 複素数と方程式 ・ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
何もコメントをされていないのでいつ修正されたかは分かりませんが,内容を見る限りほぼ直っているようです.
[式:…]のときの[式:…]の式だけがまだ間違ったままです.

修正される際はコメントを書いていただきたく思います.
修正後の解答だけを見た方には
私の指摘の意味が分からなくなってしまいますから.
よろしくお願いいたします.
山田 慶太郎 さん 2010/02/03 13:36:56 報告
2
山田 慶太郎 さん

コメントありがとうございます。まだ自分自身、すうじあむの仕組みを正しく理解できていないようで申し訳ないです。

ご指摘いただいた点、確認の上修正させていただきました。
1987yama3 さん 2010/02/28 16:17:20 報告
3
修正を確認いたしました.

これからもよろしくお願いいたします.
山田 慶太郎 さん 2010/02/28 17:50:56 報告
\section*{問題} $\displaystyle z_1=2, z_2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とし, 複素数$z_1, z_2, z_3, z_4, \cdots$は \[ z_n^2 = z_{n+1}z_{n-1} (n=2, 3, 4, \cdots) \] を満たすとする. このとき, 次の問いに答えよ. ただし, $i$は虚数単位とする. \begin{enumerate} \item $z_2^2, z_2^3$を求めよ. \item $n=1, 2, ,3 \cdots$について, $z_n$の実部を$a_n$とし, 虚部を$b_n$とする. このとき, $a_n$と$b_n$を$n$を用いて表せ. \item $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n$および$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$を求めよ. \end{enumerate} \section*{解答} \begin{enumerate} \item $\displaystyle z_2^2 = \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}\left( 1-3-2\sqrt{3}i \right) = -\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$. $\displaystyle z_2^3 = \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \right)\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} = \frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$. \item $z_n^2=z_{n+1}z_{n-1}$, $z_n \neq 0( n=1, 2, \cdots)$から, $\displaystyle \frac{z_n}{z_{n+1}} = \frac{z_{n-1}}{z_n}$である. よって, $\displaystyle \frac{z_n}{z_{n+1}}=\frac{z_1}{z_2}$で, $\displaystyle z_{n+1} = \frac{z_2}{z_1}z_n$. したがって, $\displaystyle z_n=\left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{n-1} z_1 = \frac{1}{2^{n-2}} z_2^{n-1}$である. \\ よって, $m$を1以上の整数として, \begin{itemize} \item $n=3m-2$のとき, $z_2^{n-1} = z_2^{3(m-1)}=1$より, $\displaystyle z_n=\frac{1}{2^{n-2}}$である. したがって, $\displaystyle a_n=\frac{1}{2^{n-2}}, b_n=0$. \item $n=3m-1$のとき, $z_2^{n-1} = z_2^{3(m-1)+1} = z_2$より, $\displaystyle z_n=\frac{1}{2^{n-2}}z_2 = \frac{1}{2^{n-2}} \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}i}{2} \right)$である. したがって, $\displaystyle a_n = -\frac{1}{2^{n-1}}, b_n=\frac{\sqrt{3}}{2^{n-1}}$. \item $n=3m$のとき, $z_2^{n-1}=z_1^{3(m-1)+2} = z_2^2$より, $\displaystyle z_n = \frac{1}{2^{n-2}}z_2^2=\frac{1}{2^{n-2}}\left( -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2} \right)$である. したがって, $\displaystyle a_n=-\frac{1}{2^{n-1}}, b_n=-\frac{\sqrt{3}}{2^{n-1}}$. \end{itemize} \item $2.$より, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0, \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 0$. \end{enumerate}