北海道大学 前期文系 2003年度 問4

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期文系
年度 2003年度
問No 問4
学部 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \newcommand{\Dfrac}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\VeC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,#1\,}}} \newcommand{\VEC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,\mathrm{#1}\,}}} \newcommand{\Frac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\comb}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}\,{}_{#2}} \newcommand{\parm}[2]{{}_{#1}\mathrm{P}\,{}_{#2}} \linespread{1.2} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\labelenumii{(\theenumii)} \def\labelenumiii{(\theenumiii)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \def\theenumiii{\alph{enumiii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} 点 P は数直線上を原点 O を出発点として,~確率がそれぞれ $\dfrac{1}{\,2\,}$ で正の向きに 1 進み,~または負の向きに 1 進むとする.$n$ 回移動したときの P の座標を $X(n)$ で表す. \begin{enumerate} \item~$X(8)=2$ となる確率を求めよ. \item~$|X(7)|$ の期待値を求めよ. \item~P が 6 回目の移動が終わった時点で,~一度も O に戻っていない確率を求めよ. \end{enumerate} \end{framed} \vspace{2mm} \begin{enumerate} \item~ $8$ 回移動したとき,~ 正の向きに $k$ 回進むとすると P の座標は $1\cdot k +(-1)\cdot (8-k) = 2k-8$ である. よって,P の座標が $2$ となるのは $2k-8=2 \Leftrightarrow k=5$ のときである. したがって,$X(8)=2$ となる確率は \[ {}_{8}\mathrm{C}_{5} \left( \dfrac{1}{\,2\,} \right)^{5}\left( \dfrac{1}{\,2\,} \right)^{8-5} = \mb{\dfrac{7}{\,32\,}} \] \item~ $7$ 回移動したとき,~ 正の向きに $k$ 回,負の向きに $7-k$ 回進むと P の位置は $1\cdot k + (-1) \cdot (7-k) = 2k-7$ であり,そのときの確率は, \[ \parm{7}{k} \, \left( \Dfrac{1}{2} \right)^{k}\left( \Dfrac{1}{2} \right)^{7-k} = \Dfrac{\parm{7}{k}}{128} \] であるから,下のような確率分布表が得られる. \vspace{2mm} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $k$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$\\ \hline $X(7)$ & $-7$ & $-5$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$ & $5$ & $7$\\ \hline $|X(7)|$ & $7$ & $5$ & $3$ & $1$ & $1$ & $3$ & $5$ & $7$\\ \hline \rule[-1zw]{0zw}{3zw} 確率 & $\dfrac{1}{\,128\,}$ & $\dfrac{7}{\,128\,}$ & $\dfrac{21}{\,128\,}$ & $\dfrac{35}{\,128\,}$ & $\dfrac{35}{\,128\,}$ & $\dfrac{21}{\,128\,}$ & $\dfrac{7}{\,128\,}$ & $\dfrac{1}{\,128\,}$\\ \hline \end{tabular} \vspace{2mm} よって,期待値は \vspace{1mm} $7\cdot\dfrac{1}{\,128\,} + 5\cdot \dfrac{7}{\,128\,} +3\cdot \dfrac{21}{\,128\,} +1\cdot \dfrac{35}{\,128\,} +1\cdot \dfrac{35}{\,128\,} +3\cdot \dfrac{21}{\,128\,} +5\cdot \dfrac{7}{\,128\,} +7\cdot \dfrac{1}{\,128\,}$ \vspace{1mm} $=\mb{\dfrac{\,35\,}{16}}$ \newpage \begin{wrapfigure}{r}{6.5cm} \vspace*{-\intextsep} \includegraphics[width=6cm]{03hkb4f} \end{wrapfigure} \item $6$ 回目の移動が終わった時点で一度も O に戻っていない移動の仕方は $1$ 回目に正の向きに進むときは,~図のように $1+4+5=10$ 通りあり,~ $1$ 回目に負の向きに進むときも同様にして $1+4+5=10$ 通りあるので 合計 $20$ 通りある. \vspace{1mm} そのそれぞれの確率は $\displaystyle \left(\dfrac{1}{\,2\,} \right)^{6} = \dfrac{1}{\,64\,}$ である. \vspace{1mm} ゆえに,~求める確率は,~$\displaystyle 20\cdot \dfrac{1}{\,64\,} = \mb{\dfrac{5}{\,16\,}}$ \end{enumerate} %\input{03北文4図.tex} \end{document}