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解答作成者: 伊藤 愁一
入試情報
大学名 |
北海道大学 |
学科・方式 |
前期文系 |
年度 |
2003年度 |
問No |
問4 |
学部 |
文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
確率
|
状態 |
 |
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\newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}}
% math-italic の bold 体が使える.
% 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体
\newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\def\Noteq{\mathrel{%
\setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}}
\newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}}
\newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}}
\newcommand{\Dfrac}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}}
\newcommand{\VeC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,#1\,}}}
\newcommand{\VEC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,\mathrm{#1}\,}}}
\newcommand{\Frac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}}
\newcommand{\comb}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}\,{}_{#2}}
\newcommand{\parm}[2]{{}_{#1}\mathrm{P}\,{}_{#2}}
\linespread{1.2}
\def\labelenumi{(\theenumi)}
\def\labelenumii{(\theenumii)}
\def\labelenumiii{(\theenumiii)}
\def\theenumi{\arabic{enumi}}
\def\theenumii{\roman{enumii}}
\def\theenumiii{\alph{enumiii}}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{framed}
点 P は数直線上を原点 O を出発点として,~確率がそれぞれ $\dfrac{1}{\,2\,}$ で正の向きに 1 進み,~または負の向きに 1 進むとする.$n$ 回移動したときの P の座標を $X(n)$ で表す.
\begin{enumerate}
\item~$X(8)=2$ となる確率を求めよ.
\item~$|X(7)|$ の期待値を求めよ.
\item~P が 6 回目の移動が終わった時点で,~一度も O に戻っていない確率を求めよ.
\end{enumerate}
\end{framed}
\vspace{2mm}
\begin{enumerate}
\item~ $8$ 回移動したとき,~ 正の向きに $k$ 回進むとすると P の座標は
$1\cdot k +(-1)\cdot (8-k) = 2k-8$ である.
よって,P の座標が $2$ となるのは $2k-8=2 \Leftrightarrow k=5$ のときである.
したがって,$X(8)=2$ となる確率は
\[
{}_{8}\mathrm{C}_{5} \left( \dfrac{1}{\,2\,} \right)^{5}\left( \dfrac{1}{\,2\,} \right)^{8-5} = \mb{\dfrac{7}{\,32\,}}
\]
\item~ $7$ 回移動したとき,~ 正の向きに $k$ 回,負の向きに $7-k$ 回進むと P の位置は $1\cdot k + (-1) \cdot (7-k) = 2k-7$ であり,そのときの確率は,
\[
\parm{7}{k} \, \left( \Dfrac{1}{2} \right)^{k}\left( \Dfrac{1}{2} \right)^{7-k} = \Dfrac{\parm{7}{k}}{128}
\]
であるから,下のような確率分布表が得られる.
\vspace{2mm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$\\
\hline
$X(7)$ & $-7$ & $-5$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$ & $5$ & $7$\\
\hline
$|X(7)|$ & $7$ & $5$ & $3$ & $1$ & $1$ & $3$ & $5$ & $7$\\
\hline
\rule[-1zw]{0zw}{3zw} 確率 & $\dfrac{1}{\,128\,}$ & $\dfrac{7}{\,128\,}$ & $\dfrac{21}{\,128\,}$ & $\dfrac{35}{\,128\,}$ & $\dfrac{35}{\,128\,}$ & $\dfrac{21}{\,128\,}$ & $\dfrac{7}{\,128\,}$ & $\dfrac{1}{\,128\,}$\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{2mm}
よって,期待値は
\vspace{1mm}
$7\cdot\dfrac{1}{\,128\,} + 5\cdot \dfrac{7}{\,128\,} +3\cdot \dfrac{21}{\,128\,} +1\cdot \dfrac{35}{\,128\,} +1\cdot \dfrac{35}{\,128\,} +3\cdot \dfrac{21}{\,128\,} +5\cdot \dfrac{7}{\,128\,} +7\cdot \dfrac{1}{\,128\,}$
\vspace{1mm}
$=\mb{\dfrac{\,35\,}{16}}$
\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\vspace*{-\intextsep}
\includegraphics[width=6cm]{03hkb4f}
\end{wrapfigure}
\item
$6$ 回目の移動が終わった時点で一度も O に戻っていない移動の仕方は
$1$ 回目に正の向きに進むときは,~図のように $1+4+5=10$ 通りあり,~
$1$ 回目に負の向きに進むときも同様にして $1+4+5=10$ 通りあるので 合計 $20$ 通りある.
\vspace{1mm}
そのそれぞれの確率は $\displaystyle \left(\dfrac{1}{\,2\,} \right)^{6} = \dfrac{1}{\,64\,}$ である.
\vspace{1mm}
ゆえに,~求める確率は,~$\displaystyle 20\cdot \dfrac{1}{\,64\,} = \mb{\dfrac{5}{\,16\,}}$
\end{enumerate}
%\input{03北文4図.tex}
\end{document}