北海道大学 前期文系 2003年度 問1

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期文系
年度 2003年度
問No 問1
学部 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 図形と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \newcommand{\Dfrac}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\VeC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,#1\,}}} \newcommand{\VEC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,\mathrm{#1}\,}}} \newcommand{\Frac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\comb}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}\,{}_{#2}} \newcommand{\parm}[2]{{}_{#1}\mathrm{P}\,{}_{#2}} \linespread{1.2} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\labelenumii{(\theenumii)} \def\labelenumiii{(\theenumiii)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \def\theenumiii{\alph{enumiii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} $xy$ 平面上の放物線 $A : y=x^2~,~B : y=-(x-a)^2+b$~は異なる 2 点 P$(x_{1},y_{1})$,~Q$(x_{2},y_{2})$~~$(x_{1}>x_{2})$~で交わるとする. \begin{enumerate} \item~$x_{1}-x_{2}=2$ が成り立つとき,~$b$ を $a$ で表せ. \item~$x_{1}-x_{2}=2$ を満たしながら $a,b$ が変化するとき,~直線 PQ の通過する領域を求め, 図示せよ. \end{enumerate} \end{framed} \vspace{2mm} \begin{enumerate} \item 放物線 $A,B$ が異なる $2$点 P,Q で交わるには $x^2 =-(x-a)^2 +b より 2x^2-2ax+a^2-b=0 \cdots \MARU{1}$ が異なる$2$ つの実数解をもつことが必要であるから $D/4=a^2-2(a^2-b)>0 すなわち -a^2+2b>0 \cdots \MARU{2}$ であることが必要で,このとき $x_{1}-x_{2} = \dfrac{\,a+\sqrt{D/4}\,}{2}-\dfrac{\,a-\sqrt{D/4}\,}{2} = \sqrt{D/4} =2$ よって,$D/4 = 4 より -a^2+2b =4 ~\therefore~ \mb{b=\dfrac{1}{2}a^2+2}$ \end{enumerate} \begin{enumerate} \item[(2)] 直線 PQ の傾きは~$\dfrac{\,x_{1}^2-x_{2}^2\,}{x_{1}-x_{2}} = x_{1} +x_{2}$ \vspace{1mm} より,~直線 PQ の方程式は $y=(x_{1}+x_{2})(x-x_{1})+x_{1}^{2} $  $= (x_{1}+x_{2})x-x_{1}x_{2} = ax - \dfrac{\,a^2-b\,}{2}$ \vspace{1mm} $(\because 解と係数の関係から$ $x_{1}+x_{2} =2,~x_{1}x_{2} =\dfrac{\,a^2-b\,}{2})$ \vspace{1mm} $b=\dfrac{\,1\,}{2}a^2+2$ を代入して$b$ を消去すると \vspace{1mm} $y=ax-\dfrac{\,1\,}{4}a^2+1$ \vspace{1mm} $x,t$ を定数とし,~$a$ の $2$ 次方程式と考えると $a^2 -4xa +4y -4 = 0$ と表せて,これが実数解をもつとよいから $D/4 = 4x^2 -(4y-4) \geqq 0 ~すなわち~ \mb{y\leqq x^2+1}$ が直線の通過領域で,図の斜線部分となる.ただし,境界を含む. \end{enumerate} \begin{wrapfigure}{r}{4.5cm} \vspace*{-\intextsep} \includegraphics[width=4cm]{03hkb1f} \end{wrapfigure} \end{document}