東北大学 前期文系 2004年度 問4

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 東北大学
学科・方式 前期文系
年度 2004年度
問No 問4
学部 文学部 ・ 教育学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \newcommand{\Dfrac}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\VeC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,#1\,}}} \newcommand{\VEC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,\mathrm{#1}\,}}} \newcommand{\Frac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\comb}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}\,{}_{#2}} \newcommand{\parm}[2]{{}_{#1}\mathrm{P}\,{}_{#2}} \linespread{1.2} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\labelenumii{(\theenumii)} \def\labelenumiii{(\theenumiii)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \def\theenumiii{\alph{enumiii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} A,B,C の $3$ 人でじゃんけんをする.一度じゃんけんで負けた者は,以後のじゃんけんから抜ける.残りが $1$ 人になるまでじゃんけんを繰り返し,最後に残ったものを勝者とする.ただし,あいこの場合も $1$ 回のじゃんけんを行ったと考える. \begin{enumerate} \item $1$ 回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ. \vspace{1mm} \item $2$ 回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ. \vspace{1mm} \item $3$ 回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ. \vspace{1mm} \item $n \geqq 4$ とする.$n$ 回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ. \end{enumerate} \end{framed} \vspace{2mm} $3$ 人でじゃんけんをするとき,手の出し方は全部で $3^{3}$ 通りある. このとき, $1$ 人が勝つのは,勝つ人の決め方が $3$ 通りあり,そのそれぞれについて決まり手が $3$ 通りずつあるので,その確率は $\Dfrac{3\cdot 3}{3^{3}} = \Dfrac{1}{3}$. $2$ 人が勝つのは,勝つ人の決め方が $\comb{3}{2}$ 通りあり,そのそれぞれについて決まり手が $3$ 通りずつあるので,その確率は $\Dfrac{\comb{3}{2} \cdot 3}{3^{3}} = \Dfrac{1}{3}$. あいこになる確率は余事象の確率を考えて,$1-\left( \Dfrac{1}{3} + \Dfrac{1}{3}\right) = \Dfrac{1}{3}$. \vspace{1mm} $2$ 人でじゃんけんをするとき,手の出し方は全部で $3^{2}$ 通りある. このとき, どちらかが勝つのは,勝つ人の決め方が $2$ 通りあり,そのそれぞれについて決まり手が $3$ 通りずつあるので,その確率は $\Dfrac{2\cdot 3}{3^{2}} = \Dfrac{2}{3}$. あいこになる確率は余事象の確率を考えて,$1- \Dfrac{2}{3} = \Dfrac{1}{3}$. \vspace{1mm} 以下,一回のじゃんけんでの人数の変化を,$3 人 \,\Longrightarrow\,3 人$,~$3 人 \,\Longrightarrow\,2 人$,~$3 人 \,\Longrightarrow\,1 人$,~$2 人 \,\Longrightarrow\,2 人$,~$2 人 \,\Longrightarrow\,1 人$,~ と表す. \begin{enumerate} \item $1$ 回目のじゃんけんで勝者が決まるのは,$3 人 \,\Longrightarrow\,1 人$ となるときで,その確率は,$\mb{\Dfrac{1}{3}}$. \vspace{1mm} \item $2$ 回目のじゃんけんで勝者が決まるのは,$3 人 \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\,1 人$ または $3 人 \,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,1 人$ となるときで,その確率は,$\Dfrac{1}{3}\cdot \Dfrac{1}{3} +\Dfrac{1}{3}\cdot \Dfrac{2}{3} = \mb{\Dfrac{1}{3}}$. \vspace{1mm} \item $3$ 回目のじゃんけんで勝者が決まるのは,$3 人 \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\,1 人$ または$3 人 \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,1 人$ または$3 人 \,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,1 人$ となるときで,その確率は,$\Dfrac{1}{3}\cdot \Dfrac{1}{3} \cdot \Dfrac{1}{3} + \Dfrac{1}{3} \cdot \Dfrac{1}{3}\cdot \Dfrac{2}{3} +\Dfrac{1}{3}\cdot \Dfrac{1}{3}\cdot \Dfrac{2}{3} = \mb{\Dfrac{5}{27}}$. \vspace{1mm} \item $n$ 回目のじゃんけんで勝者が決まるのは, i)~~$3 人 \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\, \cdots\cdots \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\,1 人$ と $n-1$ 回目まで $3$ 人であいこを続け,$n$ 回目に $1$ 人が勝つ, ii) $3 人 \,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\, 2 人\,\Longrightarrow\, \cdots\cdots \,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,1 人$ $3 人 \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\, 2 人\,\Longrightarrow\, \cdots\cdots \,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,1 人$ $3 人 \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\, 3 人\,\Longrightarrow\, \cdots\cdots \,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,1 人$ ~~$\vdots$ ~~  $\vdots$ ~~  $\vdots$   ~   ~  $\vdots$ ~~  $\vdots$ ~~  $\vdots$ ~~  $\vdots$ $3 人 \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\, 3 人\,\Longrightarrow\, \cdots\cdots \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,1 人$ $3 人 \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\, 3 人\,\Longrightarrow\, \cdots\cdots \,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\,3 人\,\Longrightarrow\,2 人\,\Longrightarrow\,1 人$ と,$k =1,2,\cdots ,n-1$ とするとき,$k-1$ 回目まで $3$ 人であいこを続け,$k$ 回目に $2$ 人が勝ち,$k+1$ 回目から $n-1$ 回目まで $2$ 人であいこを続け,$n$ 回目に $1$ 人が勝つ, のどちらかである. i)~の確率は,$\left( \Dfrac{1}{3} \right)^{n}$. ii)~の確率は, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \left( \Dfrac{1}{3} \right)^{k-1}\cdot \left( \Dfrac{1}{3} \right) \cdot \left( \Dfrac{1}{3} \right)^{(n-1)-(k+1)+1} \cdot \left( \Dfrac{2}{3} \right) = \sum_{k=1}^{n-1} 2 \left( \Dfrac{1}{3} \right)^{n} = \Dfrac{2(n-1)}{3^{n}}$. よって,求める確率は,$\left( \Dfrac{1}{3} \right)^{n} + \Dfrac{2(n-1)}{3^{n}} = \mb{\Dfrac{2n-1}{3^{n}}}$. \end{enumerate} \end{document}