東北大学 前期理系 2004年度 問2

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 東北大学
学科・方式 前期理系
年度 2004年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 積分法の応用 ・ いろいろな曲線
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \newcommand{\Dfrac}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\VeC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,#1\,}}} \newcommand{\VEC}[1]{\overrightarrow{\mathstrut {\,\mathrm{#1}\,}}} \newcommand{\Frac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\comb}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}\,{}_{#2}} \newcommand{\parm}[2]{{}_{#1}\mathrm{P}\,{}_{#2}} \linespread{1.2} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\labelenumii{(\theenumii)} \def\labelenumiii{(\theenumiii)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \def\theenumiii{\alph{enumiii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} 平面上の $3$ つの曲線 $C_{1},~C_{2},~C_{3}$ を次で定める. \vspace{2mm} $C_{1}\,:\,\left\{ \begin{array}{l} x= \dfrac{15}{2} t^{4}\\ y= -3t^{5} +5t^{3}\\ \end{array}\right.$           $\left( 0 \leqq t \leqq \sqrt{\Dfrac{5}{3}} \right)$ $C_{2}\,:\,\left\{ \begin{array}{l} x= \dfrac{125}{6} \cos^{3}\left( 2\pi \left( -t+\sqrt{\Dfrac{5}{3}} \right) \right)\\ y= \dfrac{125}{6} \sin^{3}\left( 2\pi \left( -t+\sqrt{\Dfrac{5}{3}} \right) \right)\\ \end{array}\right.$  $\left( \sqrt{\Dfrac{5}{3}} \leqq t \leqq \sqrt{\Dfrac{5}{3}} + \Dfrac{1}{4} \right)$ $C_{3}\,:\,\left\{ \begin{array}{l} x= 0\\ y= \Dfrac{125(t-2)}{6\left( \Dfrac{7}{4} -\sqrt{\Dfrac{5}{3}} \right)}\\ \end{array}\right.$        $\left( \sqrt{\Dfrac{5}{3}}+\Dfrac{1}{4} \leqq t \leqq 2 \right)$ \begin{enumerate} \item $C_{1}$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めよ. \item 原点 O を出発し,$C_{1},~C_{2},~C_{3}$ を順にたどって O に戻る行程の道のりを求めよ. \end{enumerate} \end{framed} \vspace{2mm} $(1)$~~ \[ \Dfrac{dx}{dt} = 30t^{3}~,~\Dfrac{dy}{dt} = -15t^{4}+15t^{2}=15t^{2}(1-t^{2}) より, \] 増減表は下のようになり,曲線 $C_{1}$と $x$ 軸で囲まれる図形は図の斜線部分である. \begin{wrapfigure}{r}{6cm} \vspace*{-\intextsep} \includegraphics[width=6cm]{04thkr2fig0} \end{wrapfigure} \vspace{2mm} \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $t$ & $0$ & $\cdots$ & $1$ & $\cdots$ & $\sqrt{\Dfrac{5}{3}}$ \\ \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $\Dfrac{dx}{dt}$ & $0$ & $+$ & $+$ & $+$ & $+$ \\ \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $\Dfrac{dy}{dt}$ & $0$ & $+$ & $0$ & $-$ & $-$ \\ \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $x$ & $0$ & $\nearrow$ & $\Dfrac{15}{2}$ & $\nearrow$ & $\Dfrac{125}{6}$\\ \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $y$ & $0$ & $\nearrow$ & $2$ & $\searrow$ & $0$\\ \hline \end{tabular} \vspace{2mm} \clearpage よって,求める面積 $S$ は \begin{align*} S &= \int_{x=0}^{\frac{125}{6}}ydx = \int_{t=0}^{\sqrt{\frac{5}{3}}} y \,\Dfrac{dx}{dt} \, dt\\ &= \int_{0}^{\sqrt{\frac{5}{3}}} (-3t^{5}+5t^{3}) \cdot 30t^{3} dt = 30\int_{0}^{\sqrt{\frac{5}{3}}} (-3t^{8}+5t^{6})dt\\ &= 30\Big[ -\Dfrac{1}{3}t^{9} +\Dfrac{5}{7}t^{7}\Big]_{0}^{\sqrt{\frac{5}{3}}} = 30\left( -\Dfrac{1}{3}\cdot \Dfrac{5}{3}+\Dfrac{5}{7}\right) \cdot \left( \sqrt{\Dfrac{5}{3}} \right)^{7}\\ &= 30 \cdot \Dfrac{10}{63} \cdot \Dfrac{125}{27}\,\sqrt{\Dfrac{5}{3}} = \mb{\Dfrac{12500\ssqrt{15}}{1701}} \end{align*} \vspace{2mm} $(2)$~~曲線 $C_{2}$ は,$2\pi \left( -t+\sqrt{\Dfrac{5}{3}} \right) =\theta$ とおくと,$\sqrt{\Dfrac{5}{3}} \leqq t \leqq \sqrt{\Dfrac{5}{3}} + \Dfrac{1}{4} $ のとき,$-\Dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq 0$ で,$x= \dfrac{125}{6} \cos^{3}\theta,~y= \dfrac{125}{6} \sin^{3}\theta$ と表せる.このとき, \vspace{1mm} $\left\{ \begin{array}{l} \vspace{2mm} \Dfrac{dx}{dt}= \Dfrac{dx}{d\theta}\Dfrac{d\theta}{dt} = -\dfrac{125}{2} \cos^{2}\theta \sin\theta \cdot (-2\pi) = 125 \pi \cos^{2}\theta \sin\theta \leqq 0 \\ \Dfrac{dy}{dt}= \Dfrac{dy}{d\theta}\Dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{125}{2} \sin^{2}\theta \cos\theta \cdot (-2\pi) = -125 \pi \sin^{2}\theta \cos\theta \leqq 0 \end{array}\right.$ \vspace{2mm} よって,増減表は下のようになる. \vspace{2mm} \begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $t$ & $\sqrt{\Dfrac{5}{3}}$ & $\cdots$ & $\sqrt{\Dfrac{5}{3}} + \Dfrac{1}{4}$ \\ \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $\theta$ & $0$ & $\cdots$ & $-\Dfrac{\pi}{2}$ \\ \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $\Dfrac{dx}{dt}$ & $0$ & $-$ & $0$ \\ \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $\Dfrac{dy}{dt}$ & $0$ & $-$ & $0$ \\ \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $x$ & $\Dfrac{125}{6}$ & $\searrow$ & $0$\\ \hline \rule[-1.2zw]{0zw}{3zw} $y$ & $0$ & $\searrow$ & $-\Dfrac{125}{6}$\\ \hline \end{tabular} \vspace{2mm} また,曲線 $C_{3}$ は $x=0~,~y= \Dfrac{125(t-2)}{6\left( \Dfrac{7}{4} -\sqrt{\Dfrac{5}{3}} \right)}~,~\sqrt{\Dfrac{5}{3}}+\Dfrac{1}{4} \leqq t \leqq 2$ より,$y$ 軸上の線分を表し,$y$座標は,$y=-\Dfrac{125}{6}$ から $y=0$ まで単調に増加する. \vspace{2mm} \begin{wrapfigure}{r}{6cm} \vspace*{-\intextsep} \includegraphics[width=6cm]{04thkr2fig} \end{wrapfigure} \vspace{2mm} よって,曲線$C_{1}~,~C_{2}~,~C_{3}$ は右の図のようになる. ここで,曲線$C_{1}~,~C_{2}~,~C_{3}$ の長さをそれぞれ $L_{1}~,~L_{2}~,~L_{3}$ とする. \vspace{2mm} $C_{1}$ について, \begin{align*} &  \left( \Dfrac{dx}{dt} \right)^{2} + \left( \Dfrac{dy}{dt} \right)^{2}\\ &= \left( 30t^{3} \right)^{2} + \left( -15t^{4} +15t^{2} \right)^{2}\\ &= 15^{2}t^{4}\left( t^{2}+1 \right)^{2} \end{align*} より, \begin{align*} L_{1} &= \int_{0}^{\sqrt{\Frac{5}{3}}} \sqrt{ \left( \Dfrac{dx}{dt} \right)^{2} + \left( \Dfrac{dy}{dt} \right)^{2}}dt\\ &= \int_{0}^{\sqrt{\Frac{5}{3}}} 15t^{2}(t^{2}+1)dt\\ &= 15 \Big[\Dfrac{1}{5}t^{5} +\Dfrac{1}{3}t^{3}\Big]_{0}^{\sqrt{\Frac{5}{3}}} = \Dfrac{50}{3}\sqrt{\Dfrac{5}{3}} = \Dfrac{50\ssqrt{15}}{9} \end{align*} \vspace{2mm} $C_{2}$ について, \begin{align*} &  \left( \Dfrac{dx}{d\theta} \right)^{2} + \left( \Dfrac{dy}{d\theta} \right)^{2}\\ &= \left( -\Dfrac{125}{2}\cos^{2}\theta \sin\theta \right)^{2} + \left( \Dfrac{125}{2} \sin^{2}\theta \cos\theta \right)^{2}\\ &= \Dfrac{5^{6}}{2^{2}} \cos^{2}\theta \sin^{2}\theta\left( \cos^{2}\theta+ \sin^{2}\theta \right)^{2} = \Dfrac{5^{6}}{2^{2}} \cos^{2}\theta \sin^{2}\theta \end{align*} より, \begin{align*} L_{2} &= \int_{-\Frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{ \left( \Dfrac{dx}{d\theta} \right)^{2} + \left( \Dfrac{dy}{d\theta} \right)^{2}}d\theta = \int_{-\Frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{ \Dfrac{5^{6}}{2^{2}} \cos^{2}\theta \sin^{2}\theta }\,d\theta\\ &= \int_{-\Frac{\pi}{2}}^{0} \Dfrac{5^{3}}{2} \cos\theta \left|\sin\theta\right|d\theta = -\int_{-\Frac{\pi}{2}}^{0} \Dfrac{5^{3}}{2} \cos\theta \sin\theta \,d\theta\\ &= -\Dfrac{5^{3}}{2} \Big[ \Dfrac{1}{2} \sin^{2}\theta\Big]_{-\Frac{\pi}{2}}^{0} = \Dfrac{125}{4} \end{align*} \vspace{2mm} 曲線 $C_{3}$ について,$L_{3} = \Dfrac{125}{6}$ \vspace{2mm} ゆえに,求める道のりは, \[ L_{1} + L_{2} +L_{3} = \Dfrac{50\ssqrt{15}}{9} + \Dfrac{125}{4} + \Dfrac{125}{6} = \mb{\Dfrac{1875+ 200\ssqrt{15}}{36}} \] \end{document}