センター試験 数学Ⅰ・A 2010年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2010年度
問No 問3
学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 平面幾何
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
これ,直線SC上に三角形ABCのNagel点があると思うんですが,なんか関係あるんですかね?
チュネズミ さん 2016/02/06 18:16:29 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第3問}}(配点 \; 30)\\ \quad $\sankaku$ABCを$\text{AB}=3$,$\text{BC}=4$,$\text{CA}=5$である直角三角形とする。 \begin{shomon} $\sankaku$ABCの内接円の中心をOとし,円Oが3辺BC,CA,ABと接する点をそれぞれP,Q,Rとする。このとき,$\text{OP}=\text{OR}=\FBA{ア}$である。また,\\ $\text{QR}=\dfrac{\FBA{イ}\dsqrt{\FBA{ウ}}}{\FBA{エ}}$であり,$\sin\Kaku{QPR}=\dfrac{\FBA{オ}\dsqrt{\FBA{カ}}}{\FBA{キ}}$である。 \end{shomon} \begin{shomon} 円Oと線分APとの交点のうちPと異なる方をSとする。このとき,\\ $\text{AP}=\dsqrt{\FBA{クケ}}$であり,$\text{SP}=\dfrac{\FBA{コ}\dsqrt{\FBA{サシ}}}{\FBA{ス}}$である。また,点Sから辺BCへ垂線を下ろし,垂線とBCとの交点をHとする。このとき \[\ake \text{HP}=\frac{\FBA{セ}}{\FBA{ソ}},\,\text{SH}=\frac{\FBA{タ}}{\FBA{チ}}\] である。したがって,$\tan\Kaku{BCS}=\dfrac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}$である。 \end{shomon} \begin{shomon} 円O上に点Tを線分RTが円Oの直径となるようにとる。このとき,\\$\tan\Kaku{BCT}=\dfrac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}}$である。よって,$\Kaku{RSC}=\FBA{ニヌ}\Shisu{\circ}$であり,$\Kaku{PSC}=\FBA{ネノ}\Shisu{\circ}$である。 \end{shomon} \end{jituwaku} \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2010-1a-3kaitou1.eps}{4cm}{30}% \kai\quad\kakkoichib\quad $\text{OP}=\text{OR}=r$とすると,\\ $\Kaku{ORB}=\Kaku{RBP}=\Kaku{OPB}=\DO{90}$とから四角形OPBRは正方形であることが分かる。よって$\text{BP}=\text{BR}=r$となり \[\text{AQ}=\text{AR}=3-r\] \[\text{CQ}=\text{CP}=4-r\] $\text{AQ}+\text{CQ}=\text{AC}$から \[(3-r)+(4-r)=5 \Yueni r=\bd{1}\GT{ア}\] このとき\quad $\text{AQ}=\text{AR}=3-1=2$\\ また,$\Kaku{BAC}=\theta$とおくと$\cos\theta=\dfrac{3}{5}$であるから,$\sankaku$AQRにおいて余弦定理より \[\text{QR}^2=2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cos\theta=8-8\cdot\frac{3}{5}=\frac{16}{5}\] $\text{QR}>0$より\quad $\text{QR}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{\bd{4}\dsqrt{\bd{5}}}{\bd{5}}\GT{イウエ}$\\ さらに円Oは$\sankaku$PQRの外接円であるから,正弦定理より \[\frac{\text{QR}}{\sin\Kaku{QPR}}=2r \Yueni \sin\Kaku{QPR}=\frac{\text{QR}}{2r}=\frac{\bd{2}\dsqrt{\bd{5}}}{\bd{5}}\GT{オカキ}\] \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2010-1a-3kaitou2.eps}{4cm}{30}% \kakkonib\quad $\text{BP}=1$であるから,$\sankaku$ABPで三平方の定理を用いると \[\text{AP}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{\bd{10}}\GT{クケ}\] また方べきの定理より \[\text{AS}\cdot\text{AP}=\text{AR}^2\ \Yueni \text{AS}=\frac{2^2}{\sqrt{10}}=\frac{2\dsqrt{10}}{5}\] したがって\quad $\text{SP}=\text{AP}-\text{AS}=\dfrac{\bd{3}\dsqrt{\bd{10}}}{\bd{5}}\GT{コ~ス}$\\ さらに$\Sankaku{ABP}\soji\Sankaku{SHP}$であり,相似比は$\text{AP}:\text{SP}=\dsqrt{10}:\dfrac{3\dsqrt{10}}{5}=5:3$であるから \[\text{HP}=\frac{3}{5}\text{BP}=\frac{\bd{3}}{\bd{5}}\GT{セソ}\] \[\text{SH}=\frac{3}{5}\text{AB}=\frac{\bd{9}}{\bd{5}}\GT{タチ}\] よって$\text{CH}=\text{CP}+\text{HP}=(4-1)+\dfrac{3}{5}=\dfrac{18}{5}$であるから \[\tan\Kaku{BCS}=\frac{\text{SH}}{\text{CH}}=\frac{9}{5}\div\frac{18}{5}=\frac{\bd{1}}{\bd{2}}\GT{ツテ}\] \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2010-1a-3kaitou3.eps}{3.3cm}{30}% \kakkosanb\quad 点Tから辺BCに下ろした垂線の足をH$'$とすると,四角形BH$'$TRは長方形であり \[\text{BH}'=\text{RT}=2r=2 \Yueni \text{CH}'=4-2=2\] さらに$\text{TH}'=\text{RB}=1$であるから \[\tan\Kaku{BCT}=\dfrac{\text{TH}'}{\text{CH}'}=\dfrac{\bd{1}}{\bd{2}}\GT{トナ}\] よって$\tan\Kaku{BCS}=\tan\Kaku{BCT}$となるから,3点C,T,Sは同一直線上にある。線分RTは円Oの直径であるから \[\Kaku{RSC}=\Kaku{RST}=\DO{\bd{90}}\GT{ニヌ}\] であり,また円周角の定理より \[\Kaku{PSC}=\Kaku{PST}=\frac{1}{2}\Kaku{POT}=\DO{\bd{45}}\GT{ネノ}\] \vspace{4mm} \Chu{\kakkoichi の$r$を求めるところは,内接円の性質を使って$\dfrac{1}{2}r(\text{AB}+\text{BC}+\text{CA})=\Sankaku{ABC}$から求めてもかまいません。ただし,後の設問を考えると四角形BPORが正方形であることを用いた方が流れに乗りやすいでしょう。} \end{document}