北海道大学 前期理系 2004年度 問2

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期理系
年度 2004年度
問No 問2
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 獣医 ・ 水産
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \newcommand{\Dfrac}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\Frac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\comb}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}\,{}_{#2}} \newcommand{\parm}[2]{{}_{#1}\mathrm{P}\,{}_{#2}} \linespread{1.2} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\labelenumii{(\theenumii)} \def\labelenumiii{(\theenumiii)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \def\theenumiii{\alph{enumiii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} $A$ を $2$ 次の正方行列\,$A = \,\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$~~(ただし,$bc \Noteq 0$),$k$ を実数とする. 行列 $X = \,\begin{pmatrix} x & y \\ z & -x \end{pmatrix}$ について等式 ~$XA-AX =kA \cdots(*)$ を考える.ただし,行列の成分はすべて実数とする. \begin{enumerate} \item $k = 0$ のとき,$(*)$ をみたす $X$ は $A$ の実数倍であることを示せ. \item $k \Noteq 0$ のとき,$(*)$ をみたす $X$ が存在するための必要十分条件は $A^{2} = O~(ただし,O は零行列)$ であることを示せ.このとき,$(*)$ を満たす $X$ で $z=c$ であるものを求めよ. \end{enumerate} \end{framed} \vspace{2mm} \begin{eqnarray*} XA-AX &=&\,\begin{pmatrix} x & y \\ z & -x \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\,-\,\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x & y \\ z & -x \end{pmatrix}\\ &=& \,\begin{pmatrix} ax+cy & bx-ay \\ az-cx & bz+ax \end{pmatrix}\,-\,\begin{pmatrix} ax+bz & ay-bx \\ cx-az & cy+ax \end{pmatrix}\\ &=&\,\begin{pmatrix} cy-bz & 2bx-2ay \\ 2az-2cx & bz-cy \end{pmatrix} = k\,\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*} より, $\left\{ \begin{array}{rcl} cy-bz &=ka &\cdots\MARU{1}\\ 2bx-2ay &= kb &\cdots\MARU{2}\\ 2az-2cx &= kc &\cdots\MARU{3}\\ \end{array}\right.$ $(1)$~~$k=0$ のとき, $\left\{ \begin{array}{rcl} \MARU{1} より,&y=\Dfrac{bz}{c}&\cdots\MARU{1}'\\ \MARU{2} より,&bx=ay &\cdots\MARU{2}'\\ \MARU{3} より,&x =\Dfrac{az}{c} &\cdots\MARU{3}'\\ \end{array}\right.$ $\MARU{1}'$ かつ $\MARU{3}'$ のとき,十分 $\MARU{2}'$ は成立する. よって, \[ X =\,\left(\begin{array}{cc} \Dfrac{az}{c} & \Dfrac{bz}{c} \\ [.75\normalbaselineskip] z & -\Dfrac{az}{c} \end{array}\right)\,=\,\Frac{z}{c} \begin{pmatrix} a & b \cr c & -a \end{pmatrix} \] と表せる.ゆえに,$X$ は $A$ の実数倍である. \vspace{2mm} $(2)$ \[ \MARU{1} より,y = \Dfrac{bz+ka}{c} \cdots\MARU{1}''~~(\because~c\Noteq 0) \] \[ \MARU{3} より,x = \Dfrac{2az-kc}{2c} \cdots\MARU{3}''~~(\because~c\Noteq 0) \] $\MARU{1}'',\MARU{3}''$ を $\MARU{2}$ に代入すると, \begin{align*} & 2b \cdot \Dfrac{2az-kc}{2c}-2a \cdot \Dfrac{bz+ka}{c} = kb \\ \intertext{両辺を $c$ 倍して} & (2abz-kbc)-(2abz+2a^{2}k) = kbc\\ & k(a^{2}+bc) = 0 ~\therefore~a^{2}+bc =0 ~(\because k\Noteq 0) \end{align*} ここで, \[ A^{2} =\,\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & -a \end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & -a \end{array}\right)\,= \,\begin{pmatrix} a^{2}+bc & 0 \cr 0 & a^{2}+bc \end{pmatrix} \] である.ゆえに,$k \Noteq 0$ のとき, 「$(*)$ をみたす $X$ が存在する」~$\Leftrightarrow$~$a^{2}-bc=0$ ~$\Leftrightarrow$~$A^{2}=O$ \vspace{1mm} このとき,$(*)$ を満たす $X$ で $z=c$ であるものは, $z=c$ を $\MARU{3}'',\MARU{1}''$ に代入して, \[ x = \Dfrac{2ac-kc}{2c}=a-\Dfrac{k}{2}~,~y = \Dfrac{bc+ka}{c} = b+\Dfrac{ka}{c} \] より \[ \mb{ X =\,\left(\begin{array}{cc} a-\Dfrac{k}{2} & b+\Dfrac{ka}{c} \\ [.75\normalbaselineskip] c & -a+\Dfrac{k}{2} \end{array}\right)} \] \end{document}