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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
| 大学名 |
京都大学 |
| 学科・方式 |
後期理系 |
| 年度 |
2006年度 |
| 問No |
問6 |
| 学部 |
理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間（理）
|
| カテゴリ |
数と式
|
| 状態 |
   |
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\documentclass[a4j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$\tan\baai{1}$は有理数か．
\end{FRAME}
\textgt{文系\ajKaku{5}と理系\ajKaku{6}共通}
%kai
$\baai{m}$，$\baai{n}$は鋭角で$\baai{m}+\baai{n}$も鋭角とする．
$\tan\baai{m}$，$\tan\baai{n}$がともに有理数ならば
\[
\tan(\baai{m}+\baai{n})=\frac{\tan\baai{m}+\tan\baai{n}}{1-\tan\baai{m}\tan\baai{n}}=(\text{\kern0pt有理数})
\]
である．
\quad したがって，$\tan\baai{1}$が有理数と仮定すると，
\[
\tan\baai{1}\ten \tan\baai{2}\ten\cdots\ten \tan\baai{30}
\]
はすべて有理数である．ところが$\tan\baai{30}=\Frac{\sqrt{3}}{3}$は無理数
であり，矛盾を生じる．
\quad 以上から，$\tan\baai{1}$は\textgt{有理数ではない}．
\end{document}
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