北海道大学 前期理系 2004年度 問1

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期理系
年度 2004年度
問No 問1
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 獣医 ・ 水産
カテゴリ 複素数と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \newcommand{\Dfrac}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\Frac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{\comb}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}\,{}_{#2}} \newcommand{\parm}[2]{{}_{#1}\mathrm{P}\,{}_{#2}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\labelenumii{(\theenumii)} \def\labelenumiii{(\theenumiii)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \def\theenumiii{\alph{enumiii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} \textbf{現行課程では範囲外.ただし,次の新課程では復活予定} \vspace{2mm} 次の漸化式で表される複素数の数列 \[ z_{1} = 1, \quad z_{n+1} = \dfrac{\,1 + i\ssqrt{3}\,}{2}z_{n} +1 \] を考える. ただし,$i$ は虚数単位である. \begin{enumerate} \item $z_{2},~z_{3}$ を求めよ. \vspace{1mm} \item 上の漸化式を $\displaystyle z_{n+1} -\alpha = \dfrac{\,1 + i\ssqrt{3}\,}{2}\left( a_{n} -\alpha \right)$ と表したとき,複素数 $\alpha$ を求めよ. \vspace{1mm} \item 一般項 $z_{n}$ を求めよ. \vspace{1mm} \item $\displaystyle z_{n} = - \dfrac{\,1 - i\ssqrt{3}\,}{2}$ となるような自然数 $n$ をすべて求めよ. \end{enumerate} \end{framed} \vspace{2mm} $(1)$~~$z_{2} = \dfrac{\,1 + i\ssqrt{3}\,}{2}z_{1} +1 = \mb{\dfrac{\,3 + i\ssqrt{3}\,}{2}}$ $z_{3} = \dfrac{\,1 + i\ssqrt{3}\,}{2}z_{2} +1 = \dfrac{\,1 + i\ssqrt{3}\,}{2}\cdot \dfrac{\,3 + i\ssqrt{3}\,}{2} +1 = \mb{1 +i \ssqrt{3}}$ \vspace{1mm} $(2)$~~$\displaystyle z_{n+1} -\alpha = \dfrac{\,1 + i\ssqrt{3}\,}{2}\left( a_{n} -\alpha \right)$ より $\displaystyle z_{n+1} = \dfrac{\,1 + i\ssqrt{3}\,}{2}a_{n} + \dfrac{\,1 - i\ssqrt{3}\,}{2}\alpha $ \vspace{1mm} これが,~$z_{n+1} = \dfrac{\,1 + i\ssqrt{3}\,}{2}z_{n} +1$ と一致するのは, \vspace{1mm} $\dfrac{\,1 - i\ssqrt{3}\,}{2}\alpha =1$~より~$\mb{\alpha} = \dfrac{2}{\,1 - i\ssqrt{3}\,} \mb{= \dfrac{\,1 + i\ssqrt{3}\,}{2}}$ \vspace{1mm} $(3)$~~$(2)$ より \[ z_{n} -\alpha = \left( \dfrac{\, 1+i \ssqrt{3}}{2} \right)^{n-1}\,(z_{1}-\alpha) \] \[ \therefore~~ \mb{z_{n}= \dfrac{\, 1+i \ssqrt{3}\,}{2} + \dfrac{\, 1-i \ssqrt{3}\,}{2}\left( \dfrac{\, 1+i \ssqrt{3}\,}{2} \right)^{n-1}} \] \vspace{1mm} $(4)$ \begin{eqnarray*} & & -\dfrac{\, 1-i \ssqrt{3}\,}{2} = \dfrac{\, 1+i \ssqrt{3}\,}{2} + \dfrac{\, 1-i \ssqrt{3}\,}{2}\left( \dfrac{\, 1+i \ssqrt{3}\,}{2} \right)^{n-1}\\ &\therefore& \left( \dfrac{\, 1+i \ssqrt{3}\,}{2} \right)^{n-2} = -1\\ &\therefore& \left( \cos\dfrac{\,\pi\,}{3} + i \sin\dfrac{\,\pi\,}{3}\right)^{n-2} = -1\\ &\therefore& \cos\dfrac{\,(n-2)\pi\,}{3} + i \sin\dfrac{\,(n-2)\pi\,}{3} = \cos\left( \pi +2k\pi \right) + i \cos\left( \pi +2k\pi \right)~~(k は 整数) \end{eqnarray*} より,$\dfrac{\,(n-2)\pi\,}{3}=\pi +2k\pi$~~よって,$n$ は自然数であることから \vspace{2mm} $\mb{n= 6k +5~~(k は0 以上の整数)}$ \end{document}