早稲田大学 商学部 2006年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 商学部
年度 2006年度
問No 問1
学部 商学部
カテゴリ 式と証明 ・ 三角関数 ・ 数列 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \fboxsep=1.5mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{#1}}} \def\v#1{\overrightarrow{\mathstrut #1}} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \def\afrac#1#2{ \left(\dfrac{\,\mbox{\scriptsize #1}\,} {\,\mbox{\scriptsize #2}\,}\right) } \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-1.5zw}\parbox{136mm}{\qquad\ \ \framebox[7mm][c]{ア}\makebox[2zw] [c]{~}\framebox[7mm][c]{ケ}\ \,に入るべき数を,マーク解答用紙の該当する数字の部分\\[2mm]% \quad\ \ に1つだけマークせよ.\ \ ただし,分数はすべて既約分数で答えよ. $ \\[8mm] \quad\ \,(1)\ \ \,整式\hspace*{5pt}ax^{\hspace*{.5pt}3}+bx^{\hspace*{.5pt}2}-2 \hspace*{5pt}が,整式\hspace*{5pt}(x+1)^2\ で\hspace*{.3pt}割\hspace*{.3pt}り \hspace*{.3pt}切\hspace*{.3pt}れ\hspace*{.3pt}る\hspace*{.3pt}と\hspace*{.5pt}き,\\ [1mm]\qquad\ \ 定数\hspace*{5pt}a=\,\framebox[7mm][c]{ア}\ ,\ \ b=\,\framebox[7mm][c]{イ}\ で\hspace*{.3pt}あ\hspace*{.3pt}る. $ \\[8mm]% \quad\ \,(2)\ \ \,座標空間の点A$(1,\ 0,\ 1)$,\ \,B$(1,\ 0,\ 0)$,\ \,C$(-1,\ 0, \ \sqrt{\,3\,}\,)$,\ \,D$(-1,\ 0,\ 0)$ \\[1.5mm]\qquad\ \ および\hspace* {5.5pt}P$(x,\ y,\ 0)\hspace*{5.5pt}に対し,\\[4mm]\hspace*{15zw} \angle$\hspace*{1pt}APB\ \raisebox{.5pt}{=}\ $\angle$\hspace*{1pt}CPD \\ [4mm]\qquad\ \ が成り立っている.\ \ このとき,$x,\ y\ は次の式を満たす. \\[4mm] \hspace*{12.5zw} (\ x-\hspace*{1pt}\framebox[7mm][c]{ウ}\,)^2 +\hspace*{1pt}y^2=\,\framebox[7mm][c]{エ} \\[5mm] \quad\ \,(3)\ \ \,正の整数nに対し \\[3mm] \hspace*{12.5zw} f(n)=\dfrac{4n+\sqrt{\hspace*{.5pt}4n^2\!-\!1\,}}{\ \sqrt{ \hspace*{1pt}2n\!+\!1\,}+\sqrt{\hspace*{1pt}2n\!-\!1\,}} \\[4mm] \qquad\ \ と定義するとき \\[8mm] \hspace*{4.5zw} \sum\limits_{n=1}^{60} f(n)\,=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(60) =\,\framebox[7mm][c]{オ}\hspace*{-.5pt}\framebox[7mm][c]{カ}\hspace*{-.5pt} \framebox[7mm][c]{キ} \\[3mm] \qquad\ \ である. \\[8mm] \quad\ \,(\makebox[9pt][c]{4})\ \ \,\cos 40^\circ+\cos 80^\circ+\cos 120^\circ +\cos 160^\circ=-\dfrac{\ \framebox[7mm][c]{ク}\ }{\framebox[7mm][c]{ケ}} $} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ (1)\ \ 仮定より,\ \ xについての恒等式 \\ \makebox[12zw][r]{$ax^3+bx^2-2$}=(x+1)^2(ax-2) \\ \hspace*{12zw} =(x^2+2x+1)(ax-2) \\ \hspace*{12zw} =ax^3+(2a-2)x^2+(a-4)x-2 \\[.5mm] \quad が成り立つから,\\ \hspace*{6zw} b=2a-2 \,\ かつ \,\ a-4=0 \hspace*{3zw} \therefore\,\ a=\underset{(ア)}{\ansbox{4}}\,,\ \,b=\underset{(イ)}{\ansbox{6}} \\[10mm] (2)\ \ \Vec{AP}=(x-1,\ \,y,\ -1),\ \ \Vec{BP}=(x-1,\ \,y,\ \,0) \\[1.5mm] \makebox[11zw][r]{$\cos\angle$\hspace*{1pt}APB} =\frac{\Vec{PA}\ten\Vec{PB}}{\,|\Vec{PA}||\Vec{PB}|\,} =\frac{\Vec{AP}\ten\Vec{BP}}{\,|\Vec{AP}||\Vec{BP}|\,} \\[1.5mm] \hspace*{11zw} =\frac{(x-1)^2+y^2+0}{\sqrt{\hspace*{.5pt}(x-1)^2+y^2+1\,} \sqrt{\hspace*{.5pt}(x-1)^2+y^2\hspace*{1pt}}\,} \\[2mm] \quad\, \Vec{CP}=(x+1,\ \,y,\ -\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,3\,}$}\,),\ \ \ Vec{DP}=(x+1,\ \,y,\ \,0) \\[1.5mm] \makebox[11zw][r]{$\cos\angle$\hspace*{1pt}CPD} =\frac{\Vec{PC}\ten\Vec{PD}}{\,|\Vec{PC}||\Vec{PD}|\,} =\frac{\Vec{CP}\ten\Vec{DP}}{\,|\Vec{CP}||\Vec{DP}|\,} \\[1.5mm] \hspace*{11zw} =\frac{(x+1)^2+y^2+0}{\sqrt{\hspace*{.5pt}(x+1)^2+y^2+3\,} \sqrt{\hspace*{.5pt}(x+1)^2+y^2\hspace*{1pt}}\,} \\[2mm] \quad よって,\\ \hspace*{4.6zw} \mathrm{\angle\hspace*{1pt}APB=\angle\hspace*{1pt}CPD} \\ \hspace*{4zw} \iff \mathrm{\cos\angle\hspace*{1pt}APB =\cos\angle\hspace*{1pt}CPD} \\[2mm] \hspace*{4zw} \iff \frac{\sqrt{\hspace*{.5pt} (x-1)^2+y^2\hspace*{1pt}}\,}{\sqrt{\hspace*{.5pt}(x-1)^2+y^2+1\,}\,} =\frac{\sqrt{\hspace*{.5pt}(x+1)^2+y^2\hspace*{1pt}}\,} {\sqrt{\hspace*{.5pt}(x+1)^2+y^2+3\,}\,} \\[1.5mm] \hspace*{4zw} \iff \{(x-1)^2+y^2\}\{(x+1)^2+y^2+3\}\hspace*{-1pt} =\hspace*{-1pt}\{(x-1)^2+y^2+1\}\{(x+1)^2+y^2\} \\ \hspace*{4zw} \iff 3(x-1)^2+3y^2=(x+1)^2+y^2 \\ \hspace*{4zw} \iff 2(x^2+y^2-4x+1)=0 \\[1mm]\hspace*{4zw} \iff (x-\underset{(ウ)}{\ansbox{2}}\,)^2+y^2=\underset{(エ)}{\ansbox{3}} \\[10mm] (3)\ \ \sqrt{\,2n-1\,}=a_n\,とおくと \\[1mm]\makebox[8zw][r] {$f(n)$}=\dfrac{\,(2n+1)+(2n-1)+\sqrt{\hspace*{1pt}(2n+1)(2n-1)\,}\hspace* {1pt}}{\sqrt{\,2n+1\,}+\sqrt{\,2n-1\,}\,} \\[1.5mm]\hspace*{8zw} =\dfrac{\,a_{n+1}^{\,2}+a_{n+1}a_n+a_n^{\,2}\,}{a_{n+1}+a_n} \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =\dfrac{\,(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}^{\,2}+a_{n+1}a_n+a_n^{\,2})\,} {(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n)} \\[1.5mm]\hspace*{8zw} =\dfrac{\,a_{n+1}^{\,3}-a_n^{\,3}\,}{a_{n+1}^{\,2}-a_n^{\,2}} \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =\dfrac{\,(2n+1)\!\raisebox{6pt}{\small$\frac{\,3\,}{2}$} -(2n-1)\!\raisebox{6pt}{\small$\frac{\,3\,}{2}$}\,}{2} \\[2mm] \quad であるから,求める和は \textstyle \\[1mm] \makebox[10zw][r]{$\sum\limits_{n=1}^{60} f(n)$}=\sum\limits_{n=1}^{60} \dfrac{\,(2n+1)\!\raisebox{6pt}{\small$\frac{\,3\,}{2}$} -(2n-1)\!\raisebox{6pt}{\small$\frac{\,3\,}{2}$}\,}{2} \\[1mm] \hspace*{10zw} =\dfrac{\,(2\ten 60+1)\!\raisebox{6pt}{\small$\frac{\,3\,}{2} $}-(2\ten 1-1)\!\raisebox{6pt}{\small$\frac{3}{\,2\,}$}\,}{2} \\[1.5mm] \hspace*{10zw} =\dfrac{\,11^3-1^3\,}{2} \\[1.5mm] \hspace*{10zw} =\dfrac{\,(11-1)\times(11^2+11+1)\,}{2} \\[2mm] \hspace*{10zw} =\ansbox{665}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(オカキ)} \\[10mm]% (4)\ \ 加法定理を用いて \\ \makebox[142pt][r]{$\cos 40^\circ+\cos 80^\circ$} =\cos(60-20)^\circ+\cos(60+20)^\circ \\ \hspace*{142pt} =2\cos 60^\circ\cos 20^\circ \\ \hspace*{142pt} =\cos 20^\circ \\[.5mm] \makebox[193pt][r]{$\cos 40^\circ+\cos 80^\circ+\cos 160^\circ$} =\cos 20^\circ+\cos 160^\circ \\ \hspace*{194pt} =\cos(90-70)^\circ+\cos(90+70)^\circ \\ \hspace*{194pt} =2\cos 90^\circ\cos 70^\circ \\ \hspace*{194pt} =0 \\[.5mm] \makebox[244pt][r]{$\cos 40^\circ+\cos 80^\circ+\cos 120^\circ +\cos 160^\circ$}=0+\cos 120^\circ \\[1.5mm] \hspace*{244pt} =-\dfrac{\ \fbox{1}\ }{\fbox{2}} \afrac{ク}{ケ} $ \end{document}