早稲田大学 政治経済学部 2006年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 政治経済学部
年度 2006年度
問No 問1
学部 政治経済学部
カテゴリ 図形と方程式 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=144mm \textheight=208mm \topmargin=-18mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{139mm}{\quad\,次の空欄にあてはまる式または数値を 解答欄に記入せよ。\fboxrule=.6pt \\[4mm]% \quad$x軸と円\ \ell:x^2+y^2-y=0$\ から等距離にある点P$(x,\ y)の軌跡は,曲線 m:\,\framebox[10mm][c]{\textgt{ア}} \\[.5mm]および半直線m':\, \framebox[10mm][c]{\textgt{イ}}\ である。ここで,円\ \ell$\ と点Pとの距離とは,$ \ell$上の点と点\\[1mm]\,Pの最短距離を表す。\\[1mm]% \quad 得られた曲線$mと直線n:\ y=x\ \,に囲まれた領域で,円\ \ell\ の外部にある部分の面 \\[1mm]積は\ \framebox[10mm][c]{\textgt{ウ}}\ である。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ \hspace*{6zw} \ell:x^2+\Bigl(y-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2} =\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2} \\[2mm] 「距離」\hspace*{1pt}の定義より,\\[.5mm] \hspace*{6zw} 円\,\ell\,と点(x,\ y)の距離は\ \left|\sqrt{\,x^2+\Bigl( y-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2}\,}-\frac{1}{\,2\,}\right| \\[2mm] \,x軸と円\,\ell\,から等距離にある点\mbox{P}(x,\ y)の軌跡は \\[1mm] \hspace*{6zw} \left|\sqrt{\,x^2+\Bigl(y-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2}\,} -\frac{1}{\,2\,}\right|=|y| \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \sqrt{\,x^2+\Bigl(y-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2}\,} -\frac{1}{\,2\,}=\pm\,y \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \sqrt{\,x^2+\Bigl(y-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2}\,} =\frac{1}{\,2\,}\pm\,y \\[2mm] \hspace*{4.7zw} \therefore\,\ \frac{1}{\,2\,}+y\geqq 0 \,\ かつ \,\ x^2+\Bigl(y-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2}=\Bigl(\frac{1}{\,2\,}+y\Bigr)^{\!2} \\[1.5mm]\hspace*{6.5zw} または \\[1.5mm] \hspace*{6.5zw} \frac{1}{\,2\,}-y\geqq 0 \,\ かつ \,\ x^2+\Bigl(y-\frac{1} {\,2\,}\Bigr)^{\!2}=\Bigl(\frac{1}{\,2\,}-y\Bigr)^{\!2} \\[2mm] これを整理して,点\mbox{P}の軌跡は \\ \hspace*{6zw} 曲線m:\,\underset{(ア)}{\ansbox{x^2=2y}}\ および半直線m':\, \underset{(イ)}{\ansbox{x=0,\ \,y\leqq\dfrac{1}{\,2\,}}} \\ である。\\[1mm] \quad 曲線mはx軸と円\,\ell\,から等距離にある点の軌跡であるから,\ \ x軸と円\, \ell\,の接点\paalen{原点}以外では,曲線mは円\,\ell\,の外部にあることに注意 する。\\[2mm] \quad 放物線mと直線nで囲まれ,円\,\ell\,の外部にある部分の面積Sは \\[1.5mm] \makebox[7zw][r]{$S$}=\frac{1}{\,2\,}\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2} +\int_0^2 \Bigl(x-\frac{1}{\,2\,}x^2\Bigr)dx \\[1mm]\hspace*{15zw} -\pi\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2}\times\frac{1}{\,4\,} \\[2mm] \hspace*{7zw} =\frac{1}{\,8\,}+\frac{1}{\,2\,}\times\frac{1}{\,6\,}\ten (2-0)^3-\frac{\pi}{\,16\,} \\ \hspace*{28zw} \begin{picture}(0,0) \Nuritubusi[.2]{(0,0)(8,1)(17,5)(25,10)(36,21)(48,38)(60,60)(0,0)} \En*[0]{(0, 15.2)}{14.9} \put(-9.5, -9.5){O} \put(-6.5, 32){\small 1} \path(-21,0)(85,0) \path(80, -1.5)(85,0)(80, 1.5) \put(79,-8){$x$} \path(0,-20)(0,85) \path(-1.5, 80)(0,85)(1.5, 80) \put(-8,80){$y$} \qbezier(-20,7)(-10,0)(0,0) \qbezier(0,0)(35,0)(70,82) \allinethickness{.5pt} \put(0, 15.2){\circle{29.8}} \path(-15,-15)(80,80) \allinethickness{.2pt} \put(57.5, -9){\small 2} \put(-7,57){\small 2} \dashline[30]{1.5}(15,0)(15,15)(0,15) \dashline[30]{1.5}(60,0)(60,60)(0,60) \put(10.5, -12){$\frac{1}{\,2\,}$} \put(-10, 12.5){$\frac{1}{\,2\,}$} \end{picture} \\[-1mm] \hspace*{7zw} =\ansbox{\dfrac{19}{\,24\,}-\dfrac{\pi}{\,16\,}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(ウ)} $ \end{document}