東北大学 前期文系 2005年度 問4

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 東北大学
学科・方式 前期文系
年度 2005年度
問No 問4
学部 文学部 ・ 教育学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ 二次関数 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\labelenumii{(\theenumii)} \def\labelenumiii{(\theenumiii)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \def\theenumiii{\alph{enumiii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} $2$ つの曲線 $C \,:\, y=-x^{2}$ と $D \,:\, y=(x-a)^{2}+b$ が $1$ 点で接している.曲線 $D$ と曲線 $E \,:\, y=\dfrac{1}{\,2\,} (x-1)^{2} +1$ によって囲まれる部分の面積 $S$ が最小となるように実数 $a,b$ を定め,そのときの $S$ を求めよ. \end{framed} \vspace{2mm} $2$ つの曲線 $C \,:\, y=-x^{2}$ と $D \,:\, y=(x-a)^{2}+b$ が $1$ 点で接しているので, \[ -x^{2} = (x-a)^{2}+b \] \[ 2x^{2}-2ax+a^{2}+b=0 \] は重解をもつ.よって \[ D_{1}/4 = a^{2}-2(a^{2}+b) =0 \] \[ \therefore ~ b=-\dfrac{\,a^{2}\,}{2} \cdots\MARU{1} \] したがって,$D \,:\, y=(x-a)^{2}-\dfrac{\,a^{2}\,}{2}$ \[ (x-a)^{2}-\dfrac{\,a^{2}\,}{2} = \dfrac{1}{\,2\,} (x-1)^{2} +1 \] \begin{wrapfigure}{r}{4.5cm} \vspace*{-\intextsep} \includegraphics[width=5cm]{05thb4fig} \end{wrapfigure} \[ x^{2}-2(2a-1)x+a^{2}-3=0 \] より \begin{eqnarray*} D_{2}/4 &=& (2a-1)^{2}-(a^{2}-3)\\ &=& 3a^{2}-4a+4\\ &=& 3\left( a - \dfrac{\,2\,}{3} \right)^{2} +\dfrac{\,8\,}{3} >0 \cdots\MARU{2} \end{eqnarray*} であるから,曲線 $D$ と曲線 $E \,:\, y=\dfrac{1}{\,2\,} (x-1)^{2} +1$ は異なる $2$ 点 で交わり,交点の $x$ 座標を $\alpha,~\beta~(\alpha <\beta )$ とおくと,図より,$2$ 曲線 $D,\,E$ によって囲まれる部分の面積 $S$ は \begin{eqnarray*} S &=& \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ \dfrac{1}{\,2\,} (x-1)^{2} +1 -\left( (x-a)^{2}-\dfrac{\,a^{2}\,}{2} \right)\right\}dx\\ &=& \int_{\alpha}^{\beta} -\dfrac{1}{\,2\,}\left\{ x^{2}-2(2a-1)x+a^{2}-3 \right\}dx\\ &=& \int_{\alpha}^{\beta} -\dfrac{1}{\,2\,}(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ &=& \dfrac{1}{\,12\,}(\beta - \alpha)^{3}\\ &=& \dfrac{1}{\,12\,}(\sqrt{D_{2}})^{3} \end{eqnarray*} となり,$S$ が最小となるのは,$D_{2}$ が最小になるときである.ゆえに,$\MARU{2}$ より, $S$ が最小となるのは,$\mb{a=\dfrac{\,2\,}{3}}$ のときで,$\MARU{1}$ より,$\mb{b=-\dfrac{\,2\,}{9}}$ である.また,$S$ の最小値は,$\dfrac{1}{\,12\,}\left(\sqrt{\dfrac{\,32\,}{3}}\right)^{3} = \mb{\dfrac{\,32\ssqrt{6}\,}{27}}$ である. \end{document}