東北大学 前期文系 2005年度 問1

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 東北大学
学科・方式 前期文系
年度 2005年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 教育学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\labelenumii{(\theenumii)} \def\labelenumiii{(\theenumiii)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \def\theenumiii{\alph{enumiii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} $0 < t < \dfrac{1}{\,2\,}$ とし,平面上のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},~\overrightarrow{\mathstrut b}$と単位ベクトル$\overrightarrow{\mathstrut e}$ が \vspace{1mm} $\displaystyle \mathrm{(i)}~\quad (1-t) \overrightarrow{\mathstrut a} + t \overrightarrow{\mathstrut b} = \overrightarrow{\mathstrut e}$ \vspace{1mm} $\displaystyle \mathrm{(ii)}~\quad (1-t) \left( \overrightarrow{\mathstrut a} + \overrightarrow{\mathstrut e} \right) = t\left( \overrightarrow{\mathstrut b} + \overrightarrow{\mathstrut e} \right)$ \vspace{1mm} を満たすとする.さらに,平面上のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut x}$ があって,$\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut b}$ が垂直で長さの比が $t : 1-t$ となるとする.このとき,内積 $\overrightarrow{\mathstrut x}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e}$ を $t$ で表せ. \end{framed} \vspace{2mm} $\displaystyle \mathrm{(ii)}~より,\quad (1-t) \overrightarrow{\mathstrut a} - t\overrightarrow{\mathstrut b} = (2t-1) \overrightarrow{\mathstrut e} \cdots\mathrm{(ii)}'$ \vspace{1mm} $\mathrm{(i)} +\mathrm{(ii)}'$ より,$\displaystyle \overrightarrow{\mathstrut a} = \dfrac{t}{\,1-t\,}\overrightarrow{\mathstrut e} \quad \left( \because 0 < t < \dfrac{1}{\,2\,} より,1-t \Noteq 0 \right)$ \vspace{1mm} $\mathrm{(i)} -\mathrm{(ii)}'$ より,$\displaystyle \overrightarrow{\mathstrut b} = \dfrac{\,t-1\,}{\,t\,}\overrightarrow{\mathstrut e} \quad \left( \because 0 < t < \dfrac{1}{\,2\,} より,t \Noteq 0 \right)$ \vspace{1mm} ここで,$\displaystyle \overrightarrow{\mathstrut a} +\overrightarrow{\mathstrut b} = \dfrac{\,1-2t+2t^{2}\,}{\,t(1-t)\,}\overrightarrow{\mathstrut e},~\overrightarrow{\mathstrut a} \cdot \overrightarrow{\mathstrut b} = |\overrightarrow{\mathstrut e}|^{2} =1$ である. よって, $\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut b}$ が垂直であるから, \vspace{1mm} $\left( \overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut a} \right)\cdot \left( \overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut b} \right)=0$ より, $|\overrightarrow{\mathstrut x}|^{2} - \left( \overrightarrow{\mathstrut a} + \overrightarrow{\mathstrut b} \right) \cdot \overrightarrow{\mathstrut x} + \overrightarrow{\mathstrut a} \cdot \overrightarrow{\mathstrut b}=0$ \vspace{1mm} よって, $|\overrightarrow{\mathstrut x}|^{2} - \dfrac{\,1-2t+2t^{2}\,}{\,t(1-t)\,}\overrightarrow{\mathstrut e} \cdot \overrightarrow{\mathstrut x} + 1=0 \cdots\MARU{1}$ つぎに,$\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut b}$ の長さの比が $t : 1-t$ となるので, $|\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut a}| : |\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut b}| = t : 1-t$ より, $(1-t)^{2}|\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}=t^{2}|\overrightarrow{\mathstrut x} - \overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}$ \vspace{1mm} よって,$|(1-t)\overrightarrow{\mathstrut x} - t\overrightarrow{\mathstrut e}|^{2}=|t\overrightarrow{\mathstrut x} - (1-t)\overrightarrow{\mathstrut e}|^{2}$より \vspace{1mm} $(1-t)^{2}|\overrightarrow{\mathstrut x}|^{2} - 2t(1-t)\overrightarrow{\mathstrut x}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e} + t^{2}|\overrightarrow{\mathstrut e}|^{2}=t^{2}|\overrightarrow{\mathstrut x}|^{2} - 2t(1-t)\overrightarrow{\mathstrut x}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e} + (1-t)^{2}|\overrightarrow{\mathstrut e}|^{2}$ \vspace{1mm} $\therefore\quad (1-2t)|\overrightarrow{\mathstrut x}|^{2}=1-2t$ \vspace{1mm} ここで,$0 < t < \dfrac{1}{\,2\,} より,1-2t \Noteq 0$ であるから, $|\overrightarrow{\mathstrut x}|^{2}=1$ \vspace{1mm} これを $\MARU{1}$ に代入すると \vspace{1mm} $\dfrac{\,1-2t+2t^{2}\,}{\,t(1-t)\,}\overrightarrow{\mathstrut e} \cdot \overrightarrow{\mathstrut x} =2$ \vspace{1mm} ここで,$1-2t+2t^{2} = 2\left( t-\dfrac{1}{\,2\,} \right)^{2} + \dfrac{1}{\,2\,} >0$ であるから, \vspace{1mm} $\overrightarrow{\mathstrut e} \cdot \overrightarrow{\mathstrut x} = \mb{\dfrac{\,2t(1-t)\,}{\,1-2t+2t^{2}\,}}$ \end{document}