センター試験 数学Ⅰ・A 2005年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2005年度
問No 問1
学部
カテゴリ 二次関数 ・ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第1問}}\quad (\textgt{必答問題})\quad (配点 \; 40)\\ \BK{\kagiichi} $a$を定数とし,$x$の2次関数 \[\h y=x^2-2(a+2)x+a^2-a+1\] のグラフを$G$とする。 \EK \begin{shomon} グラフ$G$と$y$軸との交点の$y$座標を$Y$とする。$Y$の値が最小になるのは\\ $a=\dfrac{\FBA{ア}}{\FBA{イ}}$のときで,最小値は$\dfrac{\FBA{ウ}}{\FBA{エ}}$である。このときグラフ$G$は$x$軸と異なる2点で交わり,その交点の$x$座標は, \[\ake \frac{\FBA{オ}\pm\sqrt{\FBA{カキ}}}{\FBA{ク}}\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} グラフ$G$が$y$軸に関して対称になるのは$a=-\FBA{ケ}$のときで,このときのグラフを$G_1$とする。\\ \quad グラフ$G$が$x$軸に接するのは$a=-\dfrac{\FBA{コ}}{\FBA{サ}}$のときで,このときのグラフを$G_2$とする。\\ \quad グラフ$G_1$を$x$軸方向に$\dfrac{\FBA{シ}}{\FBA{ス}}$,$y$軸方向に\FBA{セソ}だけ平行移動するとグラフ$G_2$に重なる。 \end{shomon} \vspace{2mm} \BK{\kagini} 大小2個のさいころを投げ,出た目の数をそれぞれ$a,\,b$とし,2次関数\\ $y=x^2-\dfrac{b-2}{a}$のグラフを$C$とする。 \EK \begin{shomonr} グラフ$C$と$x$軸との共有点の個数が0個である確率(すなわちグラフ$C$が$x$軸と共有点をもたない確率)は$\dfrac{\FBA{タ}}{\FBA{チ}}$であり,共有点の個数が1個である確率は$\dfrac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}$,共有点の個数が2個である確率は$\dfrac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}}$である。 \end{shomonr} \begin{shomonr} グラフ$C$と$x$軸との共有点の個数の期待値は$\dfrac{\FBA{ニ}}{\FBA{ヌ}}$である。 \end{shomonr} \begin{shomonr} グラフ$C$と$x$軸とが共有点をもち,かつ共有点の$x$座標がすべて整数となる確率は$\dfrac{\FBA{ネノ}}{\FBA{ハヒ}}$である。 \end{shomonr} \end{jituwaku} \h\kai\quad\kagiichib\quad\kakkoichib\quad $G:y=x^2-2(a+2)x+a^2-a+1 \Cdots\maruichi$\\ $G$の$y$切片$Y$は \[Y=a^2-a+1=\SK{a-\frac{1}{2}}^2+\frac{3}{4}\] よって$Y$は$a=\dfrac{\bd{1}}{\bd{2}}\GT{アイ}$のとき最小値$\dfrac{\bd{3}}{\bd{4}}\GT{ウエ}$をとる。\\ このとき\mruichi より \[G:y=x^2-5x+\frac{3}{4}\] となり,$G$と$x$軸との交点の$x$座標は \[x^2-5x+\frac{3}{4}=0 \Yueni x=\frac{\bd{5}\pm\dsqrt{\bd{22}}}{\bd{2}}\GT{オ~ク}\] \h\kakkonib\quad \mruichi より\quad $y=\CK{x-(a+2)}^2-5a-3\Cdots\maruni$ $G$が$y$軸に関して対称になるのは,軸$:x=a+2$が$y$軸($x=0$)に一致するときで \[a+2=0 \Yueni a=-\bd{2}\GT{ケ}\] このとき\mruni より\quad $G_1:y=x^2+7$ $G$が$x$軸に接するのは,頂点の$y$座標が0のときで \[-5a-3=0 \Yueni a=-\frac{\bd{3}}{\bd{5}}\GT{コサ}\] このとき\mruni より\quad $G_2:y=\SK{x-\dfrac{7}{5}}^2$ $G_1$の頂点は$(0,\,7)$,$G_2$の頂点は$\SK{\dfrac{7}{5},\,0}$となるので,$G_1$を$x$軸方向に$\dfrac{\bd{7}}{\bd{5}}\GT{シス}$,$y$軸方向に$\bd{-7}\GT{セソ}$だけ平行移動すると$G_2$に重なる。 \vspace{2mm} \h\kaginib\quad\kakkoichib\quad $C:y=x^2-\frac{b-2}{a}$ $C$と$x$軸が共有点をもたないのは$-\dfrac{b-2}{a}>0$,すなわち$b<2$のときであり,これより$b=1$である。ゆえにこの確率は\quad $\dfrac{\bd{1}}{\bd{6}}\GT{タチ}$ $C$と$x$軸の共有点の個数が1個であるのは$-\dfrac{b-2}{a}=0$,すなわち$b=2$のときであり,この確率は\quad $\dfrac{\bd{1}}{\bd{6}}\GT{ツテ}$ $C$と$x$軸の共有点の個数が2個であるのは$-\dfrac{b-2}{a}<0$,すなわち$b>2$のときであり,これより$b=3,\,4,\,5,\,6$である。ゆえにこの確率は\quad $\dfrac{4}{6}=\dfrac{\bd{2}}{\bd{3}}\GT{トナ}$ \h\kakkonib\quad \kakkoichi より求める期待値は \[1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{4}{6}=\frac{9}{6}=\frac{\bd{2}}{\bd{3}}\GT{ニヌ}\] \h\kakkosanb\quad $b \geq 2$のとき,グラフ$C$と$x$軸との共有点の$x$座標は \[x^2-\frac{b-2}{a}=0 \Yueni x=\pm\sqrt{\frac{b-2}{a}}\] $b-2 \leq 4$に注意すると,これが整数になるのは$\dfrac{b-2}{a}=0,\,1,\,4$のときである。それぞれの目の出方は $\dfrac{b-2}{a}=0$のとき,$b=2$で$a$は何でもよいので6通り。 $\dfrac{b-2}{a}=1$のとき,$b-2=a$より$(a,\,b)=(1,\,3),\,(2,\,4),\,(3,\,5),\,(4,\,6)$の4通り。 $\dfrac{b-2}{a}=4$のとき,$b-2=4a$より$(a,\,b)=(1,\,6)$の1通り。\\ 以上より求める確率は\quad $\dfrac{6+4+1}{6^2}=\dfrac{\bd{11}}{\bd{36}}\GT{ネ~ヒ}$ \end{document}