東北大学 前期理系 2006年度 問4

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 東北大学
学科・方式 前期理系
年度 2006年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} $x>0$ において,関数 $f(x) = x\sin \dfrac{\,\pi\,}{2}$ を考える.関数 $f(x)$ の導関数を $f'(x)$ と書くことにし,以下の問に答えよ. \begin{enumerate} \item $f'(2)$ を求め,$x>2$ のとき, $f'(x)<1$ であることを示せ. \item $k$ が自然数のとき,$f'\left( \dfrac{\,\pi\,}{2} \right)$ を求めよ. \item $f'(x) =1$ となる $x$ を値の大きいものから順に $x_{1},~x_{2},~\cdots$ とおおく. \vspace{1mm} $n \geqq 2$ である自然数 $n$ に対して,~$\dfrac{1}{\,n\,} < x_{n} < \dfrac{1}{\,n-1\,}$ を示せ. \item $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_{n})$ を求めよ. \end{enumerate} \end{framed} \vspace{2mm} $(1)$~~$f'(x) = \sin\dfrac{\,\pi\,}{x} + x \cos\dfrac{\,\pi\,}{x} \cdot \left( -\dfrac{\,\pi\,}{x^{2}} \right) = \sin\dfrac{\,\pi\,}{x} - \dfrac{\,\pi\,}{x} \cos\dfrac{\,\pi\,}{x}$ \vspace{1mm} より,$\mb{f'(2)} = \sin\dfrac{\,\pi\,}{2} - \dfrac{\,\pi\,}{2} \cos\dfrac{\,\pi\,}{2} \mb{= 1}$ \vspace{1mm} $f''(x) = -\dfrac{\,\pi\,}{x^{2}}\cos\dfrac{\,\pi\,}{x} + \dfrac{\,\pi\,}{x^{2}} \cos\dfrac{\,\pi\,}{x} -\dfrac{\,\pi\,}{x} \left( - \sin\dfrac{\,\pi\,}{x} \right)\cdot \left( -\dfrac{\,\pi\,}{x^{2}} \right) = -\dfrac{\,\pi^{2}\,}{x^{3}} \sin\dfrac{\,\pi\,}{x}$ \vspace{1mm} より,$x>2$ のとき,~$0 < \dfrac{\,\pi\,}{x} < \dfrac{\,\pi\,}{2}$ であるから $\sin \dfrac{\,\pi\,}{x} >0$ である. \vspace{1mm} よって,$x>2$ のとき,$f''(x) <0$ であるから,$f'(x)$ は減少し,~$f'(2) =1$ であるから $f'(x)<1$である. \vspace{2mm} $(2)$~~$(1)$ より,~ $\mb{f'\left( \dfrac{1}{\,k\,} \right)} = \sin k\pi - k\pi \cos k\pi = -k\pi \cdot (-1)^{k} \mb{ = (-1)^{k+1}k\pi}$ \vspace{2mm} $(3)$~~ $x>2$ のとき,$f'(x)<1$ \vspace{1mm} $x=2$ のとき,$f'(2)=1$ であるから,$x_{1} = 2$ \vspace{1mm} $1 \leqq x < 2$ のとき,$\dfrac{\,\pi\,}{2} < \dfrac{\,\pi\,}{x} \leqq \pi$ より,$f''(x) \leqq 0$ であるから,$f'(x)$ はこの区間で減少し,~$f'(1) =\pi$ であるから $f'(x)=1$ となる $x$ は存在しない. \vspace{1mm} $\dfrac{1}{\,2\,} \leqq x < 1$ のとき,$\pi < \dfrac{\,\pi\,}{x} \leqq 2\pi$ より,$f''(x) \geqq 0$ であるから,$f'(x)$ はこの区間で増加する. \vspace{1mm} そして,~$f'\left( \dfrac{1}{\,2\,} \right) = -2\pi<1,~f'(1) =\pi>1$ であるから $f'(x)=1$ となる $x$ が$1$個存在し,これが $x_{2}$である.よって,$\dfrac{1}{\,2\,} < x_{2} < 1$である. \vspace{1mm} $\dfrac{1}{\,3\,} \leqq x < \dfrac{1}{\,2\,}$ のとき,$2\pi < \dfrac{\,\pi\,}{x} \leqq 3\pi$ より,$f''(x) \leqq 0$ であるから,$f'(x)$ はこの区間で減少する. \vspace{1mm} そして,~$f'\left( \dfrac{1}{\,3\,} \right) = 3\pi>1,~f'\left( \dfrac{1}{\,2\,} \right) = -2\pi<1$ であるから $f'(x)=1$ となる $x$ が$1$個存在し,これが $x_{3}$である.よって,$\dfrac{1}{\,3\,} < x_{3} < \dfrac{1}{\,2\,}$ である. \vspace{1mm} 以下,$m$ を自然数として, \vspace{1mm} i)~~$\dfrac{1}{\,2m\,} \leqq x < \dfrac{1}{\,2m-1\,}$ のとき,$(2m-1)\pi < \dfrac{\,\pi\,}{x} \leqq 2m\pi$ より, \vspace{1mm} $f''(x) \geqq 0$ であるから,$f'(x)$ はこの区間で増加する. \vspace{1mm} そして,~$f'\left( \dfrac{1}{\,2m\,} \right) = -2m\pi<1,~f'\left( \dfrac{1}{\,2m-1\,} \right) = (2m-1)\pi>1$ であるから \vspace{1mm} $f'(x)=1$ となる $x$ が$1$個存在し,これが $x_{2m}$である. \vspace{1mm} よって,$\dfrac{1}{\,2m\,} < x_{2m} < \dfrac{1}{\,2m-1\,}$である. \vspace{1mm} ii)~~$\dfrac{1}{\,2m+1\,} \leqq x < \dfrac{1}{\,2m\,}$ のとき,$2m\pi < \dfrac{\,\pi\,}{x} \leqq (2m+1)\pi$ より, \vspace{1mm} $f''(x) \leqq 0$ であるから,$f'(x)$ はこの区間で減少する. \vspace{1mm} そして,~$f'\left( \dfrac{1}{\,2m+1\,} \right) = (2m+1)\pi>1,~f'\left( \dfrac{1}{\,2m\,} \right) = -2m\pi<1$ であるから \vspace{1mm} $f'(x)=1$ となる $x$ が$1$個存在し,これが $x_{2m+1}$である. \vspace{1mm} よって,$\dfrac{1}{\,2m+1\,} < x_{2m+1} < \dfrac{1}{\,2m\,}$ である. \vspace{1mm} i) と ii) をまとめて,$n \geqq 2$ である自然数に対して,$\dfrac{1}{\,n\,} < x_{n} < \dfrac{1}{\,n-1\,}$ \vspace{2mm} $(4)$~~$(3)$ より, $n \geqq 2$ である自然数に対して,$\dfrac{1}{\,n\,} < x_{n} < \dfrac{1}{\,n-1\,}$ より $(n-1)\pi < \dfrac{\pi}{\,x_{n}\,} < n\pi$ よって,$0 < |\sin\dfrac{\pi}{\,x_{n}\,}| \leqq 1$ \vspace{1mm} 各辺に $x_{n} ~(>0)$を掛けて,~$0 < |x_{n}\sin\dfrac{\pi}{\,x_{n}\,}| \leqq x_{n}$ \vspace{1mm} $x_{n} < \dfrac{1}{\,n-1\,}$ であるから,$0 < |f(x_{n})| \leqq \dfrac{1}{\,n-1\,}$ \vspace{1mm} よって,$n \to \infty$ のとき,$\dfrac{1}{\,n-1\,} \to 0$ であるから,はさみうちの原理より \vspace{1mm} $\displaystyle \lim_{n \to \infty}|f(x_{n})|=0$ なので,$\mb{\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(x_{n})=0}$ \end{document}