解の変換

  • 公開日時: 2010/09/05 15:49
  • 閲覧数: 7137
  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 入試・教育

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
何をもって「論理的に正しい」と言うかは問題ですが(教育的配慮も含めて)、解法としては正しいと言わざるを得ないでしょうね。おっしゃるように、高校数学の話としては √ の扱いなどを問題視することはできるでしょうが。

形式的に言えば、元の2次方程式を:
   [式:…]  .......................(1)
とすれば、解と係数の関係によっても、この解法によっても:
   [式:…]  ...................(2)
という答が得られることに変わりはありません。

なまじ「[式:…][式:…] に置き換えて」なんて言うからややこしくなるのであって、最初からそのまま:
   [式:…]
   [式:…]
両辺を2乗して:
   [式:…]
   [式:…]  ...................(3)

元の方程式 (1) の解 [式:…] が (3) の解でもあることは明らか、したがって:
   [式:…]
   [式:…]
なので (3) の [式:…][式:…] に置き換えた (2) に対し、[式:…] はその解です。

ちなみに (3) を因数分解すると:
   [式:…]
であり、その4解は [式:…] です。このように (1) から (3) の導出は、2乗するところで同値変形ではないのですが、[式:…] が解であることは保存されますから、その点に問題はありません。

この話は以前の記事にあった「複2次式の因数分解」:
   http://suseum.jp/gq/question/905
の話とか、さらに進めて4次方程式の解法にも関係ありそうです。

=========
以下余談。問題文に「2次方程式を『1つ』作れ」とありますが、特別な場合を除けば答は(定数倍を除けば)一意に決まります。
 「特別な場合」というのは [式:…]、つまり [式:…] の場合です。この場合、[式:…] を1つの解とし、それとは無縁な [式:…] を第2の解とするような2次方程式を答と認めるかどうかです。
 例えば (1) が:
   [式:…] とか [式:…]
の場合に:
   [式:…]
などを答として認めるかどうかです。問題文が「[式:…] を『2解』とする」だったら、この場合でも答は(どの解法でも得られる):
   [式:…]
に一意に決まります。
平賀 譲 さん 2010/09/05 17:43:47 報告
2
お返事,ありがとうございます。平賀先生のおっしゃるように考えれば細かいことを考えず解けることに気づきました。

なお,『1つ作れ』は高校生用の問題集からそのまま引用したのでそのままにしておきましたが,定数倍を考慮しての表現であり,ここのサイトでは削除しておけばよかったと思います。
中瀬古 佳史 さん 2010/09/07 20:16:04 報告
3
中瀬古先生、どうもありがとうございます。
「1つ作れ」については細かい話なのでお気になさらないでください。

[式:…][式:…] に置き換えて」について、コメント 1 ではちゃんと触れなかったので追記します。

[式:…] は実数、複素数のいずれでもよいとし、[式:…] という「記法」は「2乗すれば [式:…] になる数」、つまり [式:…] であるような [式:…] を表すというだけの意味で考えます。[式:…] が複素数であってもそのような [式:…] の存在は保証されます。

[式:…] であれば)そのような [式:…] は一意には決まりませんが、式中で [式:…] の形だけで使っていれば、一意に決まらないことが悪さをすることはありません。[式:…] 単独で使うと問題が生じる可能性があります。

本解法の場合、コメント 1 の (3) 式の [式:…][式:…] で置き換えた、[式:…] についての偶数次数項だけからなる4次式(したがって [式:…] についての2次式)を作っていることにあたりますから、解法としては「正しい」ことになります。

ただし万全かと言えばいくつかの保留があります。「正しい」というのは上記の点をすべて踏まえていれば、ということです。これに対し:

☆ 記事中にも書かれているように、複素数の平方根は現行の高校数学の範囲外である。
例えば小学生が鶴亀算のような問題を、連立1次方程式の行列表現とその変形によって解いてきたら、「正しく」はあっても解答として妥当かどうかは別問題。

☆ そのこともあって、解答者がどれだけ [式:…] についての正しい理解を踏まえて解答しているかは問題である。
複素数の平方根など全く知らずに、単なる機械的な置き換えだけでも答そのものは得られてしまう。特に上述の [式:…] の存在保証や同値変形でないことへの留意は重要で、この点についてあやふやであれば解答としては少なくとも不完全です。

しかし書かれた答案からその見極めができなければ、「疑わしきは罰せず」で採点上は正解とせざるを得ないでしょう(よくあることです)。
もちろん、指導の上で解答例として示す場合には上記のような事項に言及することが必要です。
平賀 譲 さん 2010/09/08 11:48:42 報告
4
せっかく丁寧にお返事頂いているのに,遅くなり申し訳ありません。先生のおっしゃる通りだと思います。あれやこれやと言及しながら指導するのはかえって混乱を招きますので,「こんな機械的な方法でも解答が導けるが検算用にしておこう,うるさい話がつきまとうので」と指導しようと思います。あまり深く追求したからと言って数学の力が伸びるともあまり思えません。

いろいろ,ありがとうございました。また,よろしくお願い致します。
中瀬古 佳史 さん 2010/09/18 23:44:18 報告
\documentclass[a4j,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,amssymb,emathMw,emathP,emathPp} \makeatletter \let\emdfrac\dfrac \let\emmod\mod \let\emdegreee\degree \let\emnagamaru\nagamaru \let\emMaru\Maru \let\dfrac\@undefined \let\mod\@undefined \let\degree\@undefined \let\nagamaru\@undefined \let\Maru\@undefined \makeatother \usepackage{ceo} % ここから \let\dfrac\emdfrac \let\mod\emmod \let\degreee\emdegree \let\nagamaru\emnagamaru \let\Maru\emMaru % ここまでを削除するとceoの命令が生きる \setlength{\topmargin}{-5.4truemm} \setlength{\headheight}{0truemm}% ヘッダーの高さを確保 \setlength{\headsep}{0zh}% ヘッダーと本文領域の幅を確保 \setlength{\textheight}{257truemm}% その分,本文領域を低くする \setlength{\footskip}{10truemm} \setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\evensidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\marginparwidth}{0truemm} \setlength{\marginparsep}{0truemm} \setlength{\textwidth}{170truemm} \renewcommand{\baselinestretch}{1.2} \enumSep{\topsep=1pt\parskip=0pt\parsep=0pt\itemsep=1pt} \def\syutten#1#2{\hfill{}(#1 \,\, #2)} \def\syuttenn#1{\hfill{} (#1)} \def\mannaka#1{\hfill{} #1 \hfill{}} \def\betumath#1{\hspace{3zw} #1} \def\douti{ \,\, \doti \,\,} \begin{document} 2数を解とする2次方程式の問題で,次のようなものをよく見かけます。 \begin{waku} $x^2-2x+5=0$ の2つの解を $\alpha,\,\,\beta$ とするとき,$\alpha^2,\,\,\beta^2$ を解とする2次方程式を1つ作れ。 \end{waku} 普通は,解と係数の関係を用いて $\alpha^2+\beta^2,\,\,\alpha^2\beta^2$ を求めますが,以下のような解法を見たことがあります。 \bigskip $x^2-2x+5=0$ の $x$ を $\dsqrt{x}$ に置き換えて,\\ \mannaka{$\begin{aligned}[t] (\sqrt{x})^2-2\sqrt{x}+5 &= 0 \\[-3pt] x-2\sqrt{x}+5 &=0 \\[-3pt] x+5 &=2\sqrt{x} \\[-3pt] 両辺を2乗して & \\[-3pt] (x+5)^2 &=4x \\[-3pt] x^2+10x+25 &=4x \\[-3pt] \yueni \,\,\, \bd{x^2+6x+25} & \bd{=0} \end{aligned}$} \bigskip $\dfrac{1}{\alpha},\,\,\dfrac{1}{\beta}$ を2数とする場合は $x$ を $\dfrac{1}{x}$ に置き換えればよいなど,他の例から考えて,本問の場合 $\dsqrt{x}$ と置き換えれば解けるのは納得できます。\\ しかし,もとの2次方程式が異なる2つの虚数解をもつから $\sqrt{ }$ は高校レベルでは定義されないし,途中で2乗するので一般に同値性が保たれるとは限らないなど,この答案が論理的に正しい理由が釈然としません。 どなたかにお知恵を拝借できればと思います。 \end{document}