絶対値とノルム

Aquarius さん

  • 公開日時: 2010/05/19 00:54
  • 閲覧数: 21312
  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 研究・考察

絶対値とノルムの使い分けについて教えてください.

Wikipediaによると,「ノルムとは,幾何的ベクトルの長さの概念の一般化」,「ものによっては絶対値や賦置(附値、付値)と呼ばれることもある。」と書かれておりますが,どういった場合に絶対値記号 [式:…] を用いるのが普通であって,また,どういった場合にノルム記号 [式:…] を用いるのが普通なのでしょうか.それとも,明確な基準がないのでしょうか.

高校数学の書籍では,ベクトルの長さはすべて絶対値記号で表記されておりますが,線形代数などの専門書をみると,大抵のものがノルム記号で表記されています.場合によっては,絶対値記号でも表現できるものもあるように思えるものもありました.

ご意見,アドバイスよろしくお願いします.

 

公序良俗に反する不適切な投稿を発見された方はこちらよりご報告ください

この投稿にフォローする

コメントをつけるにはログインが必要です。

全件表示

No メッセージ 投稿者 日時    
1
記号に関しては、現実にどちらも使われる(別に教科書に限った話ではない)という点では「明確な基準がない」のでしょうね。ただベクトル・絶対値に対して同じ記号を使うか使わないかだと:
     [式:…]
     [式:…]
上のほうが下の方より混乱しやすいということはあるでしょう。もっとも逆に、どちらも実数値なんだから同じ記号のほうがいいという考え方もあるだろうけど。
それに混乱という点では、行列式を [式:…] のように表すほうがはるかに不適切ではあるでしょうが(これ、ヤコビアンなどでは現実に困るんです)。

 私自身のイメージでは「絶対値」というのはスカラー量(実数、複素数等々)に対するもの、「ノルム」はベクトル量(関数、さらにはより一般的な数学的対象を含む)に対するものです。また「絶対値」というのはいうなれば固有名詞的で、対応するスカラー(実数・複素数)に対して定義が一意に決まっているのに対し、「ノルム」というのは普通名詞的で、一般には一意に決まらない、つまり同じ対象に対してでも、用途に応じて様々なノルムがあり得る、という違いもあるかも。
 例えば2次元数ベクトルにしても:
   [式:…]
という「ユークリッドノルム([式:…] ノルム)」が標準的ですが、
   [式:…]
   [式:…]
を始めとして、様々なノルムが考えられる。関数空間になると、標準的なノルム自体が選びがたくなります。

最初の記号の話に戻ると、上にしても:
   [式:…]
   [式:…]
のように書いたらやはりわかりにくいですね。
それに関数となると:
   [式:…]
は普通は関数値の絶対値をとった関数ですから、関数のノルムとは違いますね。ベクトルで言えば、各成分の絶対値をとった(数)ベクトル:
   [式:…]
に相当します。もっとも関数のノルムの場合は
   [式:…]
のように [式:…] は省いて書くのが普通でしょうが、そうであるとしても単に [式:…] と書かれたらどちらの意味か、とりにくいですね。例えば「最大値ノルム」を:
   [式:…]
なんて書かれたらもうわけがわからない。
平賀 譲 さん 2010/05/19 01:40:04 報告
2
平賀先生

コメントありがとうございます.

絶対値→スカラー量・固有名詞的
ノルム→ベクトル量・普通名詞的

という解釈がとても分かりやすかったです.

すると,絶対値をノルムで表記するのは不可能ではないけれど馴染まないけれど,ノルムを絶対値で表記すると混乱してしまうので避けるべき,という認識をもつようにすると無難なのでしょうか.教えていただけるとうれしいです.
Aquarius さん 2010/05/19 13:16:50 報告
3
「表記する」の意味がわからないのですが、[式:…] を使うか [式:…] を使うかのいずれか、ということでしょうか?

まず実数 [式:…] や複素数 [式:…] の絶対値を表すのに [式:…] を使うことはほぼありえないでしょう。
ベクトル等の一般のノルムに [式:…] を使っていいかは、いいも悪いも、現実に使われている以上、混乱が生じないような注意をして(例えばあらかじめ定義を明記して)使えばいいということでは?
 私個人はもっぱら [式:…](というか、矢線ではなく太字ベクトルの [式:…])を使いますが。
平賀 譲 さん 2010/05/19 15:40:52 報告
4
平賀先生がおっしゃる通り,[式:…] を使うか,[式:…] を使うかのいずれが適切でしょうか,ということを質問したつもりでした.質問内容が分かりにくくてすみませんでした.

両者の記号を使い分ける基準として,ベクトルをはじめとする一般のノルムには,混乱が生じないようして使う,ということで理解できました.

コメントありがとうございます.

Aquarius さん 2010/05/20 05:12:33 報告