すうじあむ

いつも楽しみに拝見させていただいています。初めて投稿します、えると申します．

表題の通り、三角比の連立方程式について質問させてください．

（大学への数学　数学ショートプログラム§３の問です．この本の解法とは全く違う，（おそらく普通の）アプローチです）

　cosx+cosy=1…①

　sinx+siny=√3 …②

を解け．（ただし　0<=x,y<360°）

に対し，私は最初にこのように考えました．

①式と②式を変形して (siny)^2+(cosy)^2=1 に代入、整理すると

　（√3）sinx+cosx=2　…③

合成して

　 2sin(x+30°)=2

　　x=60°

これを①に代入して

　cosy=1-1/2=1/2

  y=60°,300°

ここで，(x,y)=(60°,300°)は②を満たさないので不適．

答　(x,y)=(60°,60°)

となりました．

　答えは出るのですが，途中で出現した  y=300°以降のくだりが自分では腑に落ちません．連立式を最後まで解いたのに，最後の最後でもう一つの式にあわないから不適，というのはかなり不細工な解法に見えてしまうのです．また，それに気づかず答えを二つ残してしまう危険性も残してしまいます．（最初の②式から，0<x<180, 0<y<180 というのも見えるのは見えるので，それにあわないので不適ともできますが，それも上の解法と同様に見えてしまいます）．　どこかで同値性が崩れているからこのようになってしまったのかなとは思うのですが，なぜこうなってしまったのかはわかりません．

 また，別の解放で解くと，ダミーが出なかったりもするようです．ただの，解く際のアプローチの違いだとは思うのですが，うまくいったりいかなかったりします．

　私が解決したいと思うのは，

　　Ａ　上の解法にある，まずい点はどこにあるのか．（  y=300°を出現させないために気をつけるべき点は）

　　Ｂ　一般化して，このように複数の解法パターンがみつかるとき，ダミーの選択肢を出現させない，または，出現してもすぐに気づくためにはどのような思考パターンで問題に対応すべきなのか．または，どのような解法手段の際にダミーが出現するか類型化できるのか．（ダミーが出現するとはじめからわかっていれば，心構えもできる）

の２点になります．どなたかご教授，ご指摘いただけないでしょうか．よろしくお願いいたします．

　　※　途中，私の考察ミスがありましたので，若干の文章変更を加えました．（２/６　23：00）