Re:[問題] H20京都高校生 数学コンテスト第1問(1)

kyoto-math さん

  • 公開日時: 2008/12/02 18:21
  • 閲覧数: 3669
  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
私も同じ答えに到達しました。
ただ、p=3,4,…9 と総当りせずに解いたので
どなたか検討お願いします。

[式:…]とすると、[式:…]より
左辺が1を超えてしまい不適。
同様に、[式:…]も不適。
よって、[式:…]
これと、与式の両辺にpqをかけて、整理すると
[式:…]
qは自然数より、[式:…]も自然数で
rは6の約数。すなわち、r=1,2,3,6
よって、(r,p,q)=(1,4,8),(2,5,5),(3,6,4),(6,9,3)
raeq さん 2008/12/02 18:50:41 報告
2
エレガントな解き方は、与式をpq倍して、pq-2p-3q=0
(p-3)(q-2)=6となり、p、qが自然数なので、
(p-3, q-2) = (1,6) (2,3) (3,2) (6,1)
(p, q) = (4,8) (5,5) (6,4) (9,3)
でしょう。

詳しい出題形式を知らないのですが、答えを出せば良い(解法の美しさまでは問われない)のであれば、ある程度絞りこんだら虱つぶしするのが現実的でしょうね。
kyoto-math さん 2008/12/04 20:54:28 報告
3
↑なるほど!! 自分のが汚く見えます(・・;)
勉強になりました。
解法は多いに越したことはありませんね
raeq さん 2008/12/07 13:08:07 報告
${p, q}$ が自然数のとき、${ \frac{3}{p} > 0}$ ${ \frac{2}{q} > 0 }$ であるので、条件を満たすのは、 ${p \geq 3 }$ かつ ${q \geq 2}$。 ${q=2}$ のとき、${ \frac{2}{q} = 1}$ となり、${ \frac{3}{p} = 0}$ を満たす ${p}$ は存在しない。 ${q \geq 3}$ のとき、${ \frac{2}{q} \leq \frac{2}{3}}$ なので、${ \frac{3}{p} \geq \frac{1}{3}}$ よって、 ${p \leq 9}$ が必要。 よって、${p=3,4, ... 9}$ の場合をそれぞれ計算して、${q}$が自然数になるものを見付ければ良い。 \par 答えは${(p, q) = (4,8), (5,5) (6,4) (9,3)}$