[Appendix1.1] スペクトル関数の変形

塩水 さん

  • 公開日時: 2008/11/27 01:31
  • 閲覧数: 1850
  • コメント数: 0
  • カテゴリ: 教養・雑学

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$x = \omega + E_{0} - \hat{H} = \omega - (\hat{H} - E_{0})$ とおいた時、スペクトル関数を以下のように変形できる。 \\ $ I (\omega) = - \frac{1}{\pi} \mathrm{Im} \big{\{} \langle \psi_{0} | \hat{O}^{\dagger} \frac{1}{\omega + E_{0} + i \epsilon - \hat{H}} \hat{O} |\psi_{0} \rangle \big{\}} \\ %式二段目 \hspace*{1cm}= - \frac{1}{\pi} \mathrm{Im} \big{\{} \langle \psi_{0} | \hat{O}^{\dagger} \frac{1}{x + i \epsilon} \hat{O} |\psi_{0} \rangle \big{\}} \\ %式三段目 \hspace*{1cm}= - \frac{1}{\pi} \mathrm{Im} \bigg{\{} \sum _n \langle \psi_{0} | \hat{O}^{\dagger} \Big{\{} P \big{[} \frac{1}{x} \big{]}- i \pi \delta (x) \Big{\}} |\psi_{n} \rangle \langle \psi_{n} | \hat{O} |\psi_{0} \rangle \bigg{\}} \hspace*{0.2cm} \cdots \hspace*{0.2cm} (*1) \\ %式四段目 \hspace*{1cm}= \sum _n \langle \psi_{0} | \hat{O}^{\dagger} \delta (x) |\psi_{n} \rangle \langle \psi_{n} | \hat{O} |\psi_{0} \rangle \hspace*{0.2cm} \cdots \hspace*{0.2cm} (*2)\\ %式五段目 \hspace*{1cm}= \sum _n \langle \psi_{0} | \hat{O}^{\dagger} %%δ関数の定義 \Big{\{} \lim _{ \sigma \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \big{(} - \frac{x^2}{2 \sigma ^2} \big{)} \Big{\}} |\psi_{n} \rangle \langle \psi_{n} | \hat{O} |\psi_{0} \rangle \hspace*{0.2cm} \cdots \hspace*{0.2cm} (*3)\\ %式六段目 \hspace*{1cm}= \sum _n \langle \psi_{0} | \hat{O}^{\dagger} \Big{\{} \lim _{ \sigma \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \big{(} 1 - \frac{\sigma ^2 x^2}{2} + \frac{\sigma ^4 x^4}{8} - { \cdots } \big{)} \Big{\}} |\psi_{n} \rangle \langle \psi_{n} | \hat{O} |\psi_{0} \rangle \hspace*{0.2cm} \cdots \hspace*{0.2cm} (*4)\\ $ ここで、$ \hat{H} | \psi_{n} \rangle = E_n | \psi_{n} \rangle$より、 $x' = \omega - (E_{n} - E_{0})$ とすると、 \\ $ I (\omega) = \sum _n \langle \psi_{0} | \hat{O}^{\dagger} \Big{\{} \lim _{ \sigma \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \big{(} 1 - \frac{\sigma ^2 x'^2}{2} + \frac{\sigma ^4 x'^4}{8} - { \cdots } \big{)} \Big{\}} |\psi_{n} \rangle \langle \psi_{n} | \hat{O} |\psi_{0} \rangle \\ %式二段目 \hspace*{1cm}= \sum _n \langle \psi_{0} | \hat{O}^{\dagger} \delta (x') |\psi_{n} \rangle \langle \psi_{n} | \hat{O} |\psi_{0} \rangle \\ %式三段目 \hspace*{1cm}= \sum _n \langle \psi_{n} | \hat{O} |\psi_{0} \rangle ^{*} \langle \psi_{n} | \hat{O} |\psi_{0} \rangle \delta(x') \hspace*{0.2cm} \cdots \hspace*{0.2cm} (*5) \\ %式四段目 \hspace*{1cm}= \sum _n | \langle \psi_{n} | \hat{O} | \psi_{0} \rangle |^2 \delta \big{(} \omega - (E_n - E_0)\big{)} $ \\ \hspace*{-0.4cm} $(*1)$ 完全系と主値積分を利用 \\ $(*2)$ 虚部のみ記述 \\ $(*3)$ 正規分布の密度関数を用いた$\delta$関数の定義を利用 \\ $(*4)$ マクローリン展開 \\ $(*5)$ $\langle A | \hat{O} | B \rangle = \langle B | \hat{O}^{\dagger} | A \rangle ^{*}$ \\ \\ ================================================ \\ 式の最初と結果のみ論文を参考にし、 この変形自体は書物やネットを調べながら自分で行いました。 質問、ツッコミ、アドバイス等募集中です。