収束値

yatya さん

  • 公開日時: 2009/07/13 10:54
  • 閲覧数: 6043
  • コメント数: 11
  • カテゴリ: 研究・考察

憶測で申し訳ないんですが、

三角数の逆数の無限和が2に収束しそうなのですがどうでしょうか?

 

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2
正直直感としか言いようがないのですが…
エクセルで有限個ですが3000までの値を入れてみて2以上にならなかったのが投稿した理由の一つです。

曖昧な答え方ですいません。
yatya さん 2009/07/13 12:14:20 報告
3
そしたら今度は、[式:…] 項までの和を [式:…] の式として、もう少し具体的には、
  [式:…][式:…] の式)
の形で表わせるかを考えてみてください。
実際には:
 [式:…]
 [式:…]
 [式:…]
 [式:…]
のようになるはずです。(右辺をわざと約分しない形にしているのがヒントです。)
平賀 譲 さん 2009/07/13 13:08:06 報告
4
lim(n→∞)2-2/n+1 の形になるんですね。
すごくためになりました!

ところで他の多角数の逆数の無限和の求め方もあるんですか?
yatya さん 2009/07/13 23:19:36 報告
5
部分和が [式:…] になることの証明はできていますか?
数学的帰納法でもできますが、もっと直接的にも示せます。自分で思いつくのは難しいかもしれないけど、基本テクニックではある。類似例として、[式:…] を:
 [式:…]
 [式:…]
 [式:…]
 [式:…]
 [式:…]
を使って求めるなど(他の方法でもできますが)。

> ところで他の多角数の逆数の無限和の求め方もあるんですか?

例えば四角数(平方数)の場合:
 [式:…]
ですが、これを高校レベルで示すのは難しい(無理?)でしょう。
一般の場合はなおさら難しいでしょう。生成母関数でもあればいいのですが。
平賀 譲 さん 2009/07/14 11:36:22 報告
6
バーゼルの問題は難しいと思いますが
[式:…]
であれば,高校生の知識で解けます。
また級数の和は単調増加であることはほぼ自明なので
これにより収束することが証明できます。
33846 さん 2009/08/21 09:32:59 報告
7
平賀譲さん sjt33846さん
コメントありがとうございます!
四角数がそんな難しい問題だったなんて知りませんでした。
まだまだ勉強が必要ですね。
yatya さん 2009/08/22 15:51:40 報告
8
[式:…]の証明は,
15通りあったと思います。(My Memo 西語のPDF)そのうちの一つに松岡氏の証明が含まれてました。

See here:

This proof is coined by Matsuoka.

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=71&t=80515

いちおう, ありますね。

http://www.math.uni-bielefeld.de/~mitrofan/2311110.pdf

My Memo

1994? 大坂市立大?



2004 慶応/理工

[式:…]

===============================

[式:…]

1980 or 1981 芝浦工大 & 横国 大数 安田氏の記事から
近谷邦彦 さん 2012/04/11 16:29:30 報告
9
My Memo

2018 東海大/医, 1985? 上智大/理工
近谷邦彦 さん 2019/03/05 01:52:07 報告
10
おじゃま虫です。

>>6 >>8
[式:…]
より
[式:…]
ですね。


よく知られている
[式:…]
に因数定理を使って(チョット無理?)
[式:…]
と推測してみます。(オイラーの無限乗積表示)

(x^3 の係数)*(-π^2)より
[式:…]

(x^5 の係数)* π^4 より
[式:…]

これらより
[式:…]
prime_132 さん 2019/03/05 07:20:37 報告
11
(削除)



だらりんぽん さん 2019/03/06 04:18:37 報告