H19京都高校生 数学コンテスト第5問 解答例

  • 公開日時: 2009/05/20 10:21
  • 閲覧数: 2720
  • コメント数: 1
  • カテゴリ: 入試・教育

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

公序良俗に反する不適切な投稿を発見された方はこちらよりご報告ください

この投稿にフォローする

コメントをつけるにはログインが必要です。

最新10件表示

No メッセージ 投稿者 日時    
1
66-10√5
かな?
追記:すみません、解答例だとは知らずに書いてしまいました。(^^;;
しかも間違ってたし。
parva さん 2017/11/04 19:26:34 報告
\def\para{% \setlength{\unitlength}{1pt}% \thinlines % \begin{picture}(12, 12)% \put(0,0){/} \put(2,0){/} \end{picture}% }% 下の図1は、1辺の長さが2の正二十面体である。この立体において、頂点Aから他のすべての頂点までの距離を、それぞれ2乗した総和を求めなさい。 \par ここで、頂点間の距離とは、2つの頂点間の最短距離とする。たとえば、右下の図2のような立方体ABCD-EFGHにおいて、頂点Aから頂点Gまでの距離は、線分AGの長さのことである。 \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=6cm, bb= 0 0 343 575]{H19_5-1.JPG} \end{center} \caption{一つめの図} \label{fig:one} \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=6cm, bb= 0 0 237 248]{H19_5-2.JPG} \end{center} \caption{二つめの図} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure} \newpage \noindent\fbox{解答}\\ \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} 各頂点を図のようにA~Lとし、\\ 頂点Aから各頂点までの距離を求める。\\ 正三角形の1辺であるので、\\ ${\mbox{AB}=\mbox{AC}=\mbox{AD}=\mbox{AE}=\mbox{AF}=2}$\\ \vspace{4mm} 正五角形ABGHDにおいて\\ 対角線AG,BDの交点をMとする\\ ${\triangle\mbox{AGH}}$はAG=AHの二等辺三角形で\\ ${ \mbox{BD} \para \mbox{GH}}$より${\angle\mbox{AGH} = \angle\mbox{GMB}}$\\ ${ \mbox{BG} \para \mbox{AH}}$より${\angle\mbox{GAH} = \angle\mbox{BGM}}$\\ 2角が等しいので${\triangle \mbox{AGH} ∽ \triangle \mbox{GBM}}$\\ よって${\triangle\mbox{GBM}}$は二等辺三角形であり\\ ${ \mbox{GB}=\mbox{GM}=2}$\\ \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=5cm, bb= 0 0 244 245]{H19_5-3.JPG} \end{center} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure} \vspace{2mm} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} 対角線${\mbox{AG}=x}$とおくと\\ ${ \triangle\mbox{MAB}}$は二等辺三角形なので\\ ${ \mbox{MA}=\mbox{MB}=x-2}$\\ ここで${\triangle\mbox{MAB}∽\triangle\mbox{BGA}}$なので\\ \begin{tabular}[b]{lrl} &${ \mbox{MA}:\mbox{AB}}$& ${ =\mbox{BG}:\mbox{GA}}$ \\ よって&${\left(x-2\right):2}$&${ = 2:x}$ \\ \,&${x\left(x-2\right)}$&${ =2 ^ {2}}$ \\ \,&${x ^ {2} -2x -4}$&${ = 0}$\\ \,&${x}$&${ = 1 \pm \sqrt{5}}$\\ ${x > 0}$より&${x}$&${ = 1 +\sqrt{5} }$\\ よって&${ \mbox{AG}}$&${ = 1 + \sqrt{5} }$\\ \end{tabular}\\ したがって, \,${ \mbox{AG}=\mbox{AH}=\mbox{AI}=\mbox{AJ}=\mbox{AK}=1 + \sqrt{5} }$\\ \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=5cm, bb= 0 0 244 245]{H19_5-4.JPG} \end{center} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure} \newpage \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} 次に、この正二十面体はALを直径とする\\ 球に内接しているので、3点A,K,Lを\\ 通る平面でこの球を切ると、\\ 断面はALを直系とする円となる。\\ 点Kはこの円周上にあるので、\\ ${\angle\mbox{AKL}=90 ^ \circ }$\\ すなわち${\mbox{AK} \perp \mbox{KL}}$であるから\\ \begin{tabular}[b]{rl} ${\mbox{AL} ^ {2}}$&${=\mbox{AK}^{2} + \mbox{KL}^{2}}$\\ \,&${= \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{2} + 2^{2}}$\\ \,&${= 1+2\sqrt{5} + 5 + 4 = 10 + 2 \sqrt{5} }$\\ \end{tabular}\\ \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=5cm, bb= 0 0 244 245]{H19_5-5.JPG} \end{center} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} 以上より頂点Aから各頂点までの距離の平方の和は\\ ${5 \times \mbox{AB} ^ {2} + 5 \times \mbox{AG} ^ {2} + \mbox{AL} ^ {2} }$\\ ${=5 \times 2 ^{2} + 5 \times \left( 1 + \sqrt{5} \right) ^ {2} + \left( 10 + 2 \sqrt{5} \right) }$\\ ${=20 + 30 + 10 \sqrt{5} + 10 + 2 \sqrt{5} }$\\ ${=60+12 \sqrt{5} \,\,\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots}$(答) \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=5cm, bb= 0 0 244 245]{H19_5-6.JPG} \end{center} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure}