すうじあむ

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\def\para{% \setlength{\unitlength}{1pt}% \thinlines % \begin{picture}(12, 12)% \put(0,0){/} \put(2,0){/} \end{picture}% }% 下の図1は、１辺の長さが2の正二十面体である。この立体において、頂点Aから他のすべての頂点までの距離を、それぞれ2乗した総和を求めなさい。 \par ここで、頂点間の距離とは、2つの頂点間の最短距離とする。たとえば、右下の図2のような立方体ABCD－EFGHにおいて、頂点Aから頂点Gまでの距離は、線分AGの長さのことである。 \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=6cm, bb= 0 0 343 575]{H19_5-1.JPG} \end{center} \caption{一つめの図} \label{fig:one} \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=6cm, bb= 0 0 237 248]{H19_5-2.JPG} \end{center} \caption{二つめの図} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure} \newpage \noindent\fbox{解答}\\ \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} 各頂点を図のようにA～Lとし、\\ 頂点Aから各頂点までの距離を求める。\\ 正三角形の1辺であるので、\\ ${\mbox{AB}=\mbox{AC}=\mbox{AD}=\mbox{AE}=\mbox{AF}=2}$\\ \vspace{4mm} 正五角形ABGHDにおいて\\ 対角線AG,BDの交点をMとする\\ ${\triangle\mbox{AGH}}$はAG=AHの二等辺三角形で\\ ${ \mbox{BD} \para \mbox{GH}}$より${\angle\mbox{AGH} = \angle\mbox{GMB}}$\\ ${ \mbox{BG} \para \mbox{AH}}$より${\angle\mbox{GAH} = \angle\mbox{BGM}}$\\ 2角が等しいので${\triangle \mbox{AGH} ∽ \triangle \mbox{GBM}}$\\ よって${\triangle\mbox{GBM}}$は二等辺三角形であり\\ ${ \mbox{GB}=\mbox{GM}=2}$\\ \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=5cm, bb= 0 0 244 245]{H19_5-3.JPG} \end{center} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure} \vspace{2mm} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} 対角線${\mbox{AG}=x}$とおくと\\ ${ \triangle\mbox{MAB}}$は二等辺三角形なので\\ ${ \mbox{MA}=\mbox{MB}=x-2}$\\ ここで${\triangle\mbox{MAB}∽\triangle\mbox{BGA}}$なので\\ \begin{tabular}[b]{lrl} &${ \mbox{MA}:\mbox{AB}}$& ${ =\mbox{BG}:\mbox{GA}}$ \\ よって&${\left(x-2\right):2}$&${ = 2:x}$ \\ \,&${x\left(x-2\right)}$&${ =2 ^ {2}}$ \\ \,&${x ^ {2} -2x -4}$&${ = 0}$\\ \,&${x}$&${ = 1 \pm \sqrt{5}}$\\ ${x > 0}$より&${x}$&${ = 1 +\sqrt{5} }$\\ よって&${ \mbox{AG}}$&${ = 1 + \sqrt{5} }$\\ \end{tabular}\\ したがって, \,${ \mbox{AG}=\mbox{AH}=\mbox{AI}=\mbox{AJ}=\mbox{AK}=1 + \sqrt{5} }$\\ \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=5cm, bb= 0 0 244 245]{H19_5-4.JPG} \end{center} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure} \newpage \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} 次に、この正二十面体はALを直径とする\\ 球に内接しているので、3点A,K,Lを\\ 通る平面でこの球を切ると、\\ 断面はALを直系とする円となる。\\ 点Kはこの円周上にあるので、\\ ${\angle\mbox{AKL}=90 ^ \circ }$\\ すなわち${\mbox{AK} \perp \mbox{KL}}$であるから\\ \begin{tabular}[b]{rl} ${\mbox{AL} ^ {2}}$&${=\mbox{AK}^{2} + \mbox{KL}^{2}}$\\ \,&${= \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{2} + 2^{2}}$\\ \,&${= 1+2\sqrt{5} + 5 + 4 = 10 + 2 \sqrt{5} }$\\ \end{tabular}\\ \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=5cm, bb= 0 0 244 245]{H19_5-5.JPG} \end{center} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.5\hsize} 以上より頂点Aから各頂点までの距離の平方の和は\\ ${5 \times \mbox{AB} ^ {2} + 5 \times \mbox{AG} ^ {2} + \mbox{AL} ^ {2} }$\\ ${=5 \times 2 ^{2} + 5 \times \left( 1 + \sqrt{5} \right) ^ {2} + \left( 10 + 2 \sqrt{5} \right) }$\\ ${=20 + 30 + 10 \sqrt{5} + 10 + 2 \sqrt{5} }$\\ ${=60+12 \sqrt{5} \,\,\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots}$(答) \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize} \begin{center} \includegraphics[width=5cm, bb= 0 0 244 245]{H19_5-6.JPG} \end{center} \label{fig:two} \end{minipage} \end{figure}