H19京都高校生 数学コンテスト第4問 解答例

  • 公開日時: 2009/05/19 10:39
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  • カテゴリ: 入試・教育

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4個のさいころを投げて、出た目の数の和を4で割ったときの余りを考える。余りがいくらになるときが最も確率が大きいか求めなさい。 \vspace{8mm} \noindent\fbox{解答}\\ \vspace{3mm} \begin{minipage}[b]{.4\textwidth} 4個のさいころの目の出方は、全部で\\ \hspace{3mm} ${6 ^ {4} = 1296}$通り\\ 右の表より、2個のさいころで考えると\\ \hspace{3mm}余りが0になるのは9通り\\ \hspace{3mm}余りが1になるのは8通り\\ \hspace{3mm}余りが2になるのは9通り\\ \hspace{3mm}余りが3になるのは10通り\\ \end{minipage} \begin{minipage}{.1\textwidth} \hfill \end{minipage} \begin{minipage}{.5\textwidth} \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline\hline 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ \hline 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ \hline 4 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 5 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 6 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} である。4個のときは、さいころを2個ずつに分けて考えると、\\ 余りが0になるのは\\ \hspace{3mm} 一方の2個で余りが0でかつ他方の2個で余りが0\\ \hspace{3mm} 一方の2個で余りが1でかつ他方の2個で余りが3\\ \hspace{3mm} 一方の2個で余りが2でかつ他方の2個で余りが2\\ \hspace{3mm} 一方の2個で余りが3でかつ他方の2個で余りが1\\ のときであるので、余りが0になるのは\\ ${9 \times 9 + 8 \times 10 + 9 \times 9 + 10 \times 8 = 322}$通りとなり、確率は${\displaystyle\frac{322}{1296}}$である。\\ 同様にして、\\ 余りが1になるのは\\ ${9 \times 8 + 8 \times 9 + 9 \times 10 + 10 \times 9 = 324}$通りとなり、確率は${\displaystyle\frac{324}{1296}}$である。\\ 余りが2になるのは\\ ${9 \times 9 + 8 \times 8 + 9 \times 9 + 10 \times 10 = 326}$通りとなり、確率は${\displaystyle\frac{326}{1296}}$である。\\ 余りが3になるのは\\ ${9 \times 10 + 8 \times 9 + 9 \times 8 + 10 \times 9 = 324}$通りとなり、確率は${\displaystyle\frac{324}{1296}}$である。\\ であるから、余りが2になるときがもっとも確率が高い。