- 公開日時: 2009/05/18 12:20
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- カテゴリ: 入試・教育
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整数の最大公約数や最小公倍数と同様に、多項式に対しても最大公約数と最小\\
公倍数が定義できる。たとえば、${ \left(x+1\right) \left(x-1\right) }$と${ \left(x+1\right) \left(2x+3\right) }$の最大公約数は\\
${ \left(x+1\right) }$、最小公倍数は${ \left(x+1\right) \left(x-1\right) \left(2x+3\right) }$である。
\par
次の${P \left(x\right) }$と${Q \left(x\right) }$の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。\\
${P \left(x\right) =x ^{4} +4x ^{3} +7x ^{2} +10x+3}$、${Q \left(x\right) =x ^{4} +3x ^{3} +8x ^{2} +9x+9}$
\vspace{6mm}
\noindent\fbox{解答}\\
${P \left(x\right)}$と${Q \left(x\right)}$の最大公約数を${S \left(x\right)}$で表すと\\
${P \left(x\right)=S \left(x\right)\cdot P' \left(x\right)}$\\
${Q \left(x\right)=S \left(x\right)\cdot Q' \left(x\right)}$\\
となる。差をとると
\par${P \left(x\right)-Q \left(x\right)=S \left(x\right) \cdot \{ P' \left(x\right)- Q' \left(x\right)\}}$\\
となるので、差を因数分解するとその中に最大公約数が含まれる。\\
\begin{tabular}{rrl}
&${P \left(x\right)=}$ & ${x ^{4} +4x ^{3} +7x ^{2} +10x+3}$\\
${-)}$&${Q \left(x\right)=}$ & ${x ^{4} +3x ^{3} +8x ^{2} +9x+9}$\\
\hline
${}$ & ${P \left(x\right)-Q \left(x\right)=}$ & ${\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x ^{3} -x ^{2} +x-6}$\\
\end{tabular}\\
この3次式は因数定理により${x-2}$を因数にもつことがわかる。\\
よって\par
${P \left(x\right)- Q \left(x\right)=\left(x-2 \right)\left( x ^ {2}+x+3 \right) }$\\
ここで、${P \left(2\right)\neq 0}$、${Q \left(2\right)\neq 0}$なので、${\left(x-2\right)}$は${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$のどちらの因数でもない。\\
そこで、${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$を${ x ^ {2}+x+3 }$で割ってみると
\par${P \left(x\right)=\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+3x+1 \right)}$
\par${Q \left(x\right)=\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+2x+3 \right)}$\\
であることがわかる。\\
よって、
\par${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最大公約数は${\left( x ^ {2}+x+3 \right)}$
\par${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最少公倍数は${\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+3x+1 \right)\left( x ^ {2}+2x+3 \right)}\cdots\cdots\cdots\cdots$ (答)\\
\newpage
\fbox{別解}\\
${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最大公約数をGCM${\left( P \left(x\right), Q \left(x\right) \right)}$で表すこととすると、\\
ユークリッドの互除法の手法により\\
${\,\,\,\,\,\,\mbox{GCM}\left( P \left(x\right), Q \left(x\right) \right)}$\\
${=\mbox{GCM}\left( P \left(x\right), \,x ^{3} -x ^{2} +x-6 \right) }$\\
${=\mbox{GCM}\left( x ^{3} -x ^{2} +x-6, \,11x ^ {2}+11x+33 \right)}$\\
${=x ^ {2} + x +3 }$\\
ここで${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$を${ x ^ {2}+x+3 }$で割ってみると
\par${P \left(x\right)=\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+3x+1 \right)}$
\par${Q \left(x\right)=\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+2x+3 \right)}$\\
となり、確かに
\par${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最大公約数は${\left( x ^ {2}+x+3 \right)}$
\par${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最少公倍数は${\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+3x+1 \right)\left( x ^ {2}+2x+3 \right)}\cdots\cdots\cdots\cdots$ (答)\\