H19京都高校生 数学コンテスト第3問 解答例

  • 公開日時: 2009/05/18 12:20
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  • カテゴリ: 入試・教育

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整数の最大公約数や最小公倍数と同様に、多項式に対しても最大公約数と最小\\ 公倍数が定義できる。たとえば、${ \left(x+1\right) \left(x-1\right) }$と${ \left(x+1\right) \left(2x+3\right) }$の最大公約数は\\ ${ \left(x+1\right) }$、最小公倍数は${ \left(x+1\right) \left(x-1\right) \left(2x+3\right) }$である。 \par 次の${P \left(x\right) }$と${Q \left(x\right) }$の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。\\ ${P \left(x\right) =x ^{4} +4x ^{3} +7x ^{2} +10x+3}$、${Q \left(x\right) =x ^{4} +3x ^{3} +8x ^{2} +9x+9}$ \vspace{6mm} \noindent\fbox{解答}\\ ${P \left(x\right)}$と${Q \left(x\right)}$の最大公約数を${S \left(x\right)}$で表すと\\ ${P \left(x\right)=S \left(x\right)\cdot P' \left(x\right)}$\\ ${Q \left(x\right)=S \left(x\right)\cdot Q' \left(x\right)}$\\ となる。差をとると \par${P \left(x\right)-Q \left(x\right)=S \left(x\right) \cdot \{ P' \left(x\right)- Q' \left(x\right)\}}$\\ となるので、差を因数分解するとその中に最大公約数が含まれる。\\ \begin{tabular}{rrl} &${P \left(x\right)=}$ & ${x ^{4} +4x ^{3} +7x ^{2} +10x+3}$\\ ${-)}$&${Q \left(x\right)=}$ & ${x ^{4} +3x ^{3} +8x ^{2} +9x+9}$\\ \hline ${}$ & ${P \left(x\right)-Q \left(x\right)=}$ & ${\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x ^{3} -x ^{2} +x-6}$\\ \end{tabular}\\ この3次式は因数定理により${x-2}$を因数にもつことがわかる。\\ よって\par ${P \left(x\right)- Q \left(x\right)=\left(x-2 \right)\left( x ^ {2}+x+3 \right) }$\\ ここで、${P \left(2\right)\neq 0}$、${Q \left(2\right)\neq 0}$なので、${\left(x-2\right)}$は${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$のどちらの因数でもない。\\ そこで、${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$を${ x ^ {2}+x+3 }$で割ってみると \par${P \left(x\right)=\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+3x+1 \right)}$ \par${Q \left(x\right)=\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+2x+3 \right)}$\\ であることがわかる。\\ よって、 \par${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最大公約数は${\left( x ^ {2}+x+3 \right)}$ \par${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最少公倍数は${\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+3x+1 \right)\left( x ^ {2}+2x+3 \right)}\cdots\cdots\cdots\cdots$ (答)\\ \newpage \fbox{別解}\\ ${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最大公約数をGCM${\left( P \left(x\right), Q \left(x\right) \right)}$で表すこととすると、\\ ユークリッドの互除法の手法により\\ ${\,\,\,\,\,\,\mbox{GCM}\left( P \left(x\right), Q \left(x\right) \right)}$\\ ${=\mbox{GCM}\left( P \left(x\right), \,x ^{3} -x ^{2} +x-6 \right) }$\\ ${=\mbox{GCM}\left( x ^{3} -x ^{2} +x-6, \,11x ^ {2}+11x+33 \right)}$\\ ${=x ^ {2} + x +3 }$\\ ここで${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$を${ x ^ {2}+x+3 }$で割ってみると \par${P \left(x\right)=\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+3x+1 \right)}$ \par${Q \left(x\right)=\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+2x+3 \right)}$\\ となり、確かに \par${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最大公約数は${\left( x ^ {2}+x+3 \right)}$ \par${P \left(x\right), Q \left(x\right)}$の最少公倍数は${\left( x ^ {2}+x+3 \right)\left( x ^ {2}+3x+1 \right)\left( x ^ {2}+2x+3 \right)}\cdots\cdots\cdots\cdots$ (答)\\