H19京都高校生 数学コンテスト第2問 解答例

  • 公開日時: 2009/05/16 09:14
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  • カテゴリ: 入試・教育

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四角形ABCDにおいて、3辺BC,CD,DAの長さは等しく、${\angle \mbox{C}=90^\circ }$,\\ ${\angle \mbox{D}=150 ^\circ}$である。\\ \indent このとき、${\angle \mbox{A}}$と${\angle\mbox{B}}$の大きさを求めなさい。 \vspace{6mm} \noindent \fbox{解答}\\ \fbox{平面幾何の手法による。補助線の引き方が、ポイント。}\\ \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{.4\textwidth} \hfill \includegraphics[width=5cm, bb= 0 0 343 575]{2-1.JPG} \end{minipage} \begin{minipage}{.1\textwidth} \hfill \end{minipage} \begin{minipage}{.5\textwidth} \underline{左図のように、四角形BCDEが正方形となる}\\ \underline{ように点\mbox{E}をとる。}\\ \begin{tabular}[b]{rl} ${\angle\mbox{ADE}}$ & ${=\angle\mbox{ADC}(\angle\mbox{D})-\angle\mbox{CDE} }$\\ \,& ${=150^\circ - 90^\circ}$ \\ \,&${=60^\circ}$\\ \end{tabular} 辺${\mbox{AD}=}$辺${\mbox{DE}}$により、\\ ${\triangle\mbox{ADE}}$は正三角形である。\\ \begin{tabular}[b]{rl} ${\angle\mbox{AEB}}$ & ${=\angle\mbox{AED}+\angle\mbox{DEB}}$ \\ \,& ${=60^\circ + 90^\circ}$ \\ \,&${=150^\circ}$\\ \end{tabular} ${\triangle\mbox{AEB}}$は、辺AE=辺BEの\\ 二等辺三角形であるから、\\ ${\angle\mbox{EAB}=\angle\mbox{EBA}=15^\circ}$である。\\ \end{minipage} \end{figure} \begin{tabular}[b]{lll} 以上より、& ${\angle\mbox{A}(=\angle\mbox{DAB})}$ & ${=\angle\mbox{DAE}-\angle\mbox{BAE} }$\\ \, & \, & ${=60^\circ-15^\circ}$ \\ \, & \, & ${=45^\circ\cdots\cdots\cdots\cdots}$(答)\\ \end{tabular} \\ \begin{tabular}[b]{lll} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & ${\angle\mbox{B}(=\angle\mbox{ABC})}$ & ${=\angle\mbox{EBC}-\angle\mbox{ABE}}$\\ \, & \, & ${=90^\circ-15^\circ}$ \\ \, & \, & ${=75^\circ\cdots\cdots\cdots\cdots}$(答)\\ \\ \end{tabular}