【今日チャレ！】解けません！

能天鬼 さん

  • 公開日時: 2021/02/15 08:51
  • 閲覧数: 174
  • コメント数: 5
  • カテゴリ: 入試・教育

今朝の「今日チャレ！」

上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数の中で最小のものをNとする。Nを9で割ったときの余りはいずれか？（正答率６５％）

「３Nの下一桁は１」よりNの下一桁は７に確定。よって３Nの上一桁は７。

ところが、定義よりNと３Nは同桁の正整数(k桁とする)なので、N<2×10^(k-1)　より　３N<6×10^(k-1)　となり、３Nの上一桁は７を取り得ない。

題意を満たすNって存在するのでしょうか。「正答率６５％」ってことは、存在するのかなぁ‥。

解けた方がいらっしゃったら、ヒントでよいので教えてください。(解法だとネタバレになってしまうから)

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
今日一日考えてみました。もし「上1桁の数字が１であり」がなければ、以下のように解ける気がします。

S を「 N および ３N の各位の数字の和」とする。
３N は３の倍数なので S は３の倍数。S が３の倍数ということは、N は３の倍数。
すると、３N は９の倍数ということになるので、３N の各位の数字の和である S も９の倍数ということになる。
そして、S が９の倍数ということは、N も９の倍数なので、それを９で割った余りは０。

これが想定解答だったのかも。もしそうなら、N を特定せず９で割った余りだけを求めるなら「最小のもの」という条件は不要かなと思いました。
 能天鬼 さん 2021/02/16 19:43:41 報告
2
《追加》そもそも「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数」って存在しないのでは？
 能天鬼 さん 2021/02/16 20:31:44 報告
3
おじゃま虫です。

「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替えると元の値の3倍になる」
とすれば、
　増加分は元の値の2倍
　(Nの下1桁の数字－上1桁の数字) × 9…9 = 2N,
　N は 9…9 の倍数
　(Nの下1桁の数字－上1桁の数字) = 2,4,6,8

Nと3Nが同桁なので　N = 19…95,　29…98　ぐらいか？

う～む
 prime_132 さん 2021/02/17 07:14:08 報告
4
【「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数」は存在しない証明？】

N と３N は同桁の数なので、N の上一桁は３以下（∵４以上だと同桁にならない）

N の桁数を k として、N の上一桁が、

１の場合:３N の下一桁は１なので、N の下一桁(すなわち ３N の上一桁)は７に確定。ところが、N <２×10^(k-1) →３N < 6×10^(k-1) なので３N の上一桁は７をとれなくて不適。
２の場合:３N の下一桁は２なので、N の下一桁(すなわち ３N の上一桁)は４に確定。ところが、N >２×10^(k-1) →３N > 6×10^(k-1) なので３N の上一桁は４をとれなくて不適。
３の場合:３N の下一桁は３なので、N の下一桁(すなわち ３N の上一桁)は１に確定。すると、N >３N となり不適。

以上より「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数」は存在しない。■

どうでしょう？
 能天鬼 さん 2021/02/17 21:28:43 報告
5
「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる『同桁の』正の整数」が存在するならば、
prime さんの式 [ (Nの下1桁の数字－上1桁の数字) × 9…9 = 2N ] が成り立つと思うのですが、この場合 前提が成り立ってないので妙な具合になっているのではと思います。
 能天鬼 さん 2021/02/17 21:48:32 報告