【今日チャレ!】解けません!

能天鬼 さん

  • 公開日時: 2021/02/15 08:51
  • 閲覧数: 174
  • コメント数: 5
  • カテゴリ: 入試・教育

今朝の「今日チャレ!」

上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数の中で最小のものをNとする。Nを9で割ったときの余りはいずれか?(正答率65%)

「3Nの下一桁は1」よりNの下一桁は7に確定。よって3Nの上一桁は7。

ところが、定義よりNと3Nは同桁の正整数(k桁とする)なので、N<2×10^(k-1) より 3N<6×10^(k-1) となり、3Nの上一桁は7を取り得ない。

題意を満たすNって存在するのでしょうか。「正答率65%」ってことは、存在するのかなぁ‥。

解けた方がいらっしゃったら、ヒントでよいので教えてください。(解法だとネタバレになってしまうから)

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
今日一日考えてみました。もし「上1桁の数字が1であり」がなければ、以下のように解ける気がします。

S を「 N および 3N の各位の数字の和」とする。
3N は3の倍数なので S は3の倍数。S が3の倍数ということは、N は3の倍数。
すると、3N は9の倍数ということになるので、3N の各位の数字の和である S も9の倍数ということになる。
そして、S が9の倍数ということは、N も9の倍数なので、それを9で割った余りは0。

これが想定解答だったのかも。もしそうなら、N を特定せず9で割った余りだけを求めるなら「最小のもの」という条件は不要かなと思いました。
能天鬼 さん 2021/02/16 19:43:41 報告
2
《追加》そもそも「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数」って存在しないのでは?
能天鬼 さん 2021/02/16 20:31:44 報告
3
おじゃま虫です。

「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替えると元の値の3倍になる」
とすれば、
 増加分は元の値の2倍
 (Nの下1桁の数字-上1桁の数字) × 9…9 = 2N,
 N は 9…9 の倍数
 (Nの下1桁の数字-上1桁の数字) = 2,4,6,8

Nと3Nが同桁なので N = 19…95, 29…98 ぐらいか?

う~む
prime_132 さん 2021/02/17 07:14:08 報告
4
【「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数」は存在しない証明?】

N と3N は同桁の数なので、N の上一桁は3以下(∵4以上だと同桁にならない)

N の桁数を k として、N の上一桁が、

1の場合:3N の下一桁は1なので、N の下一桁(すなわち 3N の上一桁)は7に確定。ところが、N <2×10^(k-1) →3N < 6×10^(k-1) なので3N の上一桁は7をとれなくて不適。
2の場合:3N の下一桁は2なので、N の下一桁(すなわち 3N の上一桁)は4に確定。ところが、N >2×10^(k-1) →3N > 6×10^(k-1) なので3N の上一桁は4をとれなくて不適。
3の場合:3N の下一桁は3なので、N の下一桁(すなわち 3N の上一桁)は1に確定。すると、N >3N となり不適。

以上より「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数」は存在しない。■

どうでしょう?
能天鬼 さん 2021/02/17 21:28:43 報告
5
「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる『同桁の』正の整数」が存在するならば、
prime さんの式 [ (Nの下1桁の数字-上1桁の数字) × 9…9 = 2N ] が成り立つと思うのですが、この場合 前提が成り立ってないので妙な具合になっているのではと思います。
能天鬼 さん 2021/02/17 21:48:32 報告