方べきの定理の利用?

パピー さん

  • 公開日時: 2021/01/12 11:51
  • 閲覧数: 626
  • コメント数: 18
  • カテゴリ: 入試・教育

円の性質の問題です。

点Aを中心とする半径1の円と、点Bを中心とする半径2の円が中心間の距離が4になるように位置しており、その2つの円に外接する円をOとしOと半径1の円との接点をP、半径2の円との接点をQとする。

また、直線PQと直線ABの交点をRとし、点Rより円Oに接線を引き接点をTとする。

このときRTの長さを求めよ。

 

答えは√30だそうです。 解法を伝授していただけると幸いです。

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
初めまして。

問題の図を描いてみたのですが、
直線PQと直線ABって重なりませんか……?

交点Rの出し方が分かりません。
ご教授願えないでしょうか?
Sakaguchi さん 2021/01/12 13:22:09 報告
2
数字あむのコメントで画像の付け方がわからないので、文字だけでの投稿になってしまっていますが、
半径1の円の中心をA(0,0)にとって半径2の円の中心Bを(4,0)に取ります。
その2つの円に乗っかるように(外接するOを描きます)その時の半径1の円との接点をP,半径似2の方の円との接点をQとします。

すると、QからPに向かってなだらかに下がっていってX軸と交わりますよね。その交点がRです。でRから円Oに接線を引いた時の接点がTということなのですが、伝わりましたでしょうか?
パピー さん 2021/01/12 13:40:02 報告
3
早速のお返事ありがとうございます!

書いてくださった通りに図を描いたのですが(アップの仕方が分かりません)、直線PQはY軸じゃないのでしょうか……?

外接する円に関して根本的に勘違いをしているのでしょうか?
Sakaguchi さん 2021/01/12 14:11:22 報告
4
2のコメントは座標を使った解法ですね。
クロニャンコ さん 2021/01/12 18:55:33 報告
5
座標を使って説明した方がわかりやすいと思ったのですが、数Aの分野の問題のようで、方べきの定理で
[式:…]
を使ったら良いのではないかと思ったのですが、そこから先に進めません。。。
パピー さん 2021/01/12 19:03:14 報告
6
直線PQと円Bとの交点でQと異なる点をSとする。

APとBSは平行となる。⊿RPA∽⊿RSBを利用すれば
RP・RQ=30となります。 (RA・RB=30を訂正しました。)
共通テスト対策の問題でしょうか?
クロニャンコ さん 2021/01/12 19:42:12 報告
7
クロにゃんこさん
ありがとうございます。
共通テストとは直接関係ないのです。

相似についてのところまでは理解が出来ました。
しかしその後の[式:…]
の部分がわからないのですがもう少し教えていただいてもよろしいでしょうか?
ABの距離(中心間距離)が4で△RPA∽△RSB の相似比がAを中心とする円の半径とBを中心とする円の半径の比で1:2だと思い、中点連結定理からRA=AB=4 つまりRA×RB=4×8で 32なのではないかと考えてしまうのですがどこが間違いなのでしょうか?
パピー さん 2021/01/14 16:13:16 報告
8
RA・RB=30をRP・RQ=30に訂正してください。すみません。
∠AOB=θとおくと⊿OABに余弦定理を利用して
cosθ=-1/4 ⊿OPQに余弦定理を利用して
PQ^2=5/2 したがってPQ=√10/2
RP=(3√10)/2、RQ=2√10 となり
RP・RQ=30
クロニャンコ さん 2021/01/14 18:38:10 報告
9
ありがとうございます!!
謎が解けましたぁ~
気づかなかったことが氷解してすっきりしました。
数学は難しい時もありますが楽しいですっ!!
パピー さん 2021/01/14 23:32:12 報告
10
くろにゃんこさん、解決したと思ったところ、一つ疑問が生じました。
半径1の円と半径2の円に外接する円の半径が「1」であればcosθ=-1/4になると思うのですが、中心間距離4で半径1の円と、半径2の円に外接する円って1つに定まらない気がするのですが、その場合cosθの値も1つに定まらないのではないかという疑問が生じました。

なので、外接する円の半径をエックスとしてRPとRQをエックスを使って表しても結局エックスが消えてRT^2が30になるのではないかと考え強引に計算してみたもののエックスが消えません。。。。

cosθが-1/4と1通りに決まるのはなぜなのでしょうか?
パピー さん 2021/01/16 19:43:19 報告
11
>中心間距離4で半径1の円と、半径2の円に外接する円って1つに定まらない気がするのですが、その場合cosθの値も1つに定まらないのではないかという疑問が生じました
x軸上に2点A,Bをとり,2円を描いててみてください。2円に外接する円は2つありますが,対称性からcosθの値はおなじになりませんか?

クロニャンコ さん 2021/01/16 22:09:08 報告
12
返信ありがとうございます。
私の考えの誤りを指摘していただければと思います。
多分なにか見落としていたりするのだろうと思います。
半径1の円と半径2の円に外接する円の半径をrとすると、△OABで余弦定理を用いると
[式:…]
となり
[式:…]
となってしまいcosθが一通りに決まらないと考えて、迷子になってしまっているという状況です。
r=1になる理由がわかっていないからだと思うのですが、ご指摘をお願いいたします。
パピー さん 2021/01/16 22:33:24 報告
13
バービーさんのおっしゃっる通り
rの値によって、答えは異なると思います。

[式:…]
答えが[式:…]になるのは、r=1のとき

答えが√30となっているとすれば、問題文の中に、条件か
説明が抜けていると思います。
クロニャンコ さん 2021/01/17 08:02:17 報告
14
ありがとうございます。
答えしかないものでどうにもこうにも√30になる理由がわからなかったのです。
問題には何べん読んでもそういった条件は書いていないので出版元に確認できたら確認してみようと思います。

何度も返信いただきありがとうございました。
パピー さん 2021/01/17 08:30:57 報告
15
問題文修正がありましたら、教えてください。
私が、見逃しているかもしれませんので。
クロニャンコ さん 2021/01/17 10:39:49 報告
16
問題文自体は以下のようになっています。

図のように点Aと点Bを中心とする2つの円があり、半径はそれぞれ1と2で、中心間の距離は4である。2つの円に外接する円をOとし、接点をP,Qとする。
また、直線PQと直線ABの交点をRとし、点Rより円Oに接線をひき、接点をTとする。
このとき線分RTの長さをもとめよ。

とあり、右側に半径1の円と半径2の円の間に乗っかるように半径が1と2の間ぐらいのサイズの円が描いてあります。その円の半径などは図中には記載はありません。
パピー さん 2021/01/17 11:05:14 報告
17
問題文の再提示ありがとうございます。
出版元に確認するのが良いですね。
クロニャンコ さん 2021/01/17 17:14:15 報告
18
直線PQと円Aとの交点をUとして
RU・RP=15、RQ=2RUを利用すれば
RQ・RP=30
余弦定理を利用しなくて相似を利用するだけで
求まりますね。
クロニャンコ さん 2021/01/20 21:21:57 報告