面積比 ( 外接円 / 内接円 )

能天鬼 さん

  • 公開日時: 2020/12/21 22:43
  • 閲覧数: 535
  • コメント数: 7
  • カテゴリ: 入試・教育

【問題】 直角△の外接円の面積(Sとする)と内接円の面積(sとする)の比( S/s )の最小値を求めよ。

自作の問題なので用意した答が違っている可能性もあるのですが‥‥コメントが付いたらupしたいです。

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1
[式:…]
クロニャンコ さん 2020/12/22 18:31:21 報告
2
能天鬼です。

クロニャンコ さん ありがとうございます。
僕の求めたのと同じ答えで、ホッとしています。
僕の考えた解答は次の通りです。

【解答】 外接円の半径を R、内接円の半径を r とする。
S/s = (R/r)^2 R>0 r>0 より、S/s が最小値をとるのは R/r が最小になるときなので、R/r の最小値を考える。

「半径Rの円に内接する直角△」は、半径Rの円の直径(両端をB、Cとする)と半円弧(B、Cは除く)上の動点Aで作る△ABCで全て表せる。

そこで、Rを固定して図形的に考えると、内接円が最も大きくなる(= r が最大になる= R/r が最小になる)のは、△ABCが直角二等辺△になるとき(*)で、(R+r)√2 = 2R が成り立つので、R/r = 1+√2。

よって求める最小値は (1+√2)^2 = 3+2√2…(答)


この解法、(*)がウサンクサイですよね。「図形を想像してみてよ。分かってくれるよね?」的な so sweeeet な感じが…
もっとビシッと決める「数学的な」解法があれば教えてください。よろしくお願いいたします <(_ _)>
能天鬼 さん 2020/12/22 21:02:45 報告
3
>R/r の最小値を考える
⊿ABC、∠A=90°, BC=2として一般性を失わない。
∠ABC=θとして
AB=2cosθ, AC=2sinθ
⊿ABC=2sinθcosθ また,⊿ABC=(1+sinθ+cosθ)r
したがって, r=(2sinθcosθ)/(1+sinθ+cosθ)
R=1であるからR/r=(1+sinθ+cosθ)/(2sinθcosθ)
あとは三角関数の微分を利用。θ=π/4のとき最小となる。
と考えました。
いろんな解答があると思いますが、微分の練習を兼ねて計算してみました。
クロニャンコ さん 2020/12/22 22:14:30 報告
4
脳天鬼です。
クロニャンコさん ありがとうございます!
三角関数は少しは分かるのですが、微分はまだ脳天鬼には早いかも…
冬休みに青チャで勉強してみようと思います!
能天鬼 さん 2020/12/23 19:37:48 報告
5
∠A = 90°BC=a, CA=b, AB=c とします。

[式:…]
[式:…]   ← 三平方の定理
[式:…]

[式:…]

[式:…]
prime_132 さん 2020/12/24 00:04:14 報告
6
脳天鬼です。

prime 132さん、ありがとうございます!

お手数ですが、一つ教えていただけないでしょうか。

5行目から6行目の不等号の前後で
r=‥‥=(b+c-a)/2
=(b+c-2R)/2
=(b+c)/2-R なので、(b+c)/2≦√(b^2+c^2)/√2…① を適用して不等号の次の式が導かれているようです。

その時のprimeさんのココロは『(b+c)/2 を R で表したい→それには b^2+c^2=4R^2 が利用できそう→ b^2+c~2 を含む不等式がないだろうか→そうだ!①を使おう!』だと推測されます。

①の不等式が実数 b c について常に成り立っているのは理解できる(2乗して移行して証明できた)のですが、①が登場した背景は次のどちらでしょうか。

1.予め知識として知っていたので使った。
2.式のカタチをみて、なんらかの不等式を利用してその場で導き出した。

もし2.だった場合は、何をどのように考えて導き出したのか、どうか教えてください<(_ _)>。
(僕なりに三角不等式とか相加相乗平均とかイロイロ考えてみたのですがギブアップです‥‥)

能天鬼 さん 2020/12/24 21:55:18 報告
7
r = (b+c-a)/2 まで出たので a:(b+c) の比を求めるのですが

[式:…]

∴ [式:…]  (等号成立は b=c)

です。


prime_132 さん 2020/12/25 04:31:54 報告