パズル的な積分

Tomons さん

  • 公開日時: 2020/10/12 14:05
  • 閲覧数: 186
  • コメント数: 4
  • カテゴリ: パズル・クイズ

 

 

高校時代に制作した問題です。単純そう思えるかもしれませんが、一筋縄では解けないかもしれません。

  [式:…]  を求めよ

ただし、[式:…]  とする

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1
僭越ながら、、、解答失礼いたします

[式:…] と積分範囲が[式:…] であることより、[式:…]の値の範囲は

[式:…] または [式:…] ---(1)

また、[式:…] ---(2)

(1)に注意しながら、(2)を用いて[式:…]の変数変換を行う:

[式:…]

[式:…]

[式:…] [式:…]

[式:…]

[式:…] ---(3)

(2)の一つ目の積分:

[式:…]

[式:…] [式:…] 

[式:…] [式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…] [式:…]

[式:…] [式:…]

[式:…]

[式:…] ---(4)



(2)の二つ目の積分:

[式:…]

[式:…] (単位円の1/4の面積) ---(5)



(4)と(5)を(3)に代入することより

(求める積分)[式:…] ---(答)
sabi さん 2020/10/18 15:08:14 報告
2
力技という感じですね、、、もっとスマートな方法があれば教えてほしいです、、、
sabi さん 2020/10/18 15:09:14 報告
3
コメントありがとうございます。見事正解です。
スマートではないかもしれませんが、思いついた解法は次のようなものです。

求める積分の式を、ある立体の体積だと考えることにする。(ある面積を区間0から1で積分したもの)
半径が[式:…] 、 中心角が2θの扇形の面積は[式:…] となることを踏まえて、ある立体をz=tで切断したときに、この平面になったと仮定する。
また、この扇形をxy平面上で中心角がy軸で二等分されるよう配置する。
(元の立体をy=1で切断すると半径1の円になることがわかる)
よく考えれば、立体は半径[式:…]の球の一部であることがわかる。
この立体をy=sで切断すると半径[式:…] の円となるから、立体の([式:…]) の部分の体積は、
[式:…] となる。
Tomons さん 2020/10/19 00:34:05 報告
4
扇形の[式:…] の部分の面積は[式:…] だから、立体の[式:…] の部分の体積は、四分円の面積[式:…] となる。
これら二つの体積を足して、
[式:…] となります。
Tomons さん 2020/10/19 00:44:00 報告