平面幾何

mic さん

  • 公開日時: 2020/09/04 14:38
  • 閲覧数: 191
  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 入試・教育

平面上の点Xと、正三角形ABCについて。
点Xが三角形ABCの外接円の弧BC上にないときはAX<BX+CX が成り立つ。

平面幾何のアプローチを用いて証明する方法、ご教授頂けないでしょうか。宜しくお願いします。

 

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1
おじゃま虫です。

トレミーの不等式
 AB・CX + AC・BX ≧ BC・AX
を AB = AC = BC (>0) で割って
 CX + BX ≧ AX,
ここで等号の成り立つのは、ABXC が
この順に同一円周上にあるとき、
でしょうね。
prime_132 さん 2020/09/05 16:20:37 報告
2
理解しました。ありがとうございます!
mic さん 2020/09/06 21:30:35 報告
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〔トレミーの不等式〕
4点A,B,C,D について
 AB・CD + BC・AD ≧ AC・BD
ここで等号が成り立つのは、ABCDAがこの順に
円に内接するか一直線上にある場合に限る。

(略証)
複素数平面を考え、4点A,B,C,Dに対応する複素
数を α,β,γ,δ とする。恒等式
 (β-α)(δ-γ) + (γ-β)(δ-α) = (γ-α)(δ-β),
から
 AB・CD + BC・AD ≧ AC・BD,
ここで等号の成り立つのは
 {(β-α)/(δ-α)}/{(γ-β)/(δ-γ)} = 正の実数
の場合で、これはα,β,γ,δがこの順に
同一円周上または一直線上にあるとき。(終)

〔参考書〕
数セミ増刊:「数学100の定理」日本評論社 (1983) p.16
矢野健太郎:「幾何の有名な定理」数学ワンポイント双書36,
共立出版(1981) p.47-48

(長くなったので分けました)
prime_132 さん 2020/09/09 10:49:52 報告