素数が無限に必要であることの証明

Lyscal さん

  • 公開日時: 2020/07/20 23:50
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  • コメント数: 2
  • カテゴリ: 研究・考察

仮に2のみを素数とし、nを大きな自然数とすると、

2^n - 2^(n-1) -1 = A

個の、「合成数の遊び場」ができる。( b^c はbのc乗 )


つぎに、仮に 2^n+1 をも「素数」(n=1のとき)と「合成数」(n>1)とすると、

「遊び場」の数は A-1 になるが、まだ余裕がある。

(2^n+1)+1 を素数(および合成数)としても、A-2 で、同様だ。


ここでn→∞とすれば、A→∞であり、

2^n+1+…+1+…を素数・合成数と見做さないと埋め尽せない。


よって、素数は無限個必要である。

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定義
自然数 R = 2^n+a とおく(整数 ∍ n,a ; n>1,a≧0)。
また、n と a を固定した和集合 ⋃R = T(n,a)を代素数と称する。

定理
自然数列は、代素数族 F = ⋃(T(n,a)) よっては網羅されない。換言すると、n を大きく採れば、T(n,a) の
R 以下 2+a 以上の余集合 B(T(n,a),R) の濃度は幾らでも大きくなり、他の代素数族を容れる。

証明
例を挙げれば、n=3, a=0 の時 T(3,0)={2,4,8}、B(T(3,0),8)={3,5,6,7}で、濃度= 2^3-3-1=4。
すなわち4個の代素数の余地が生ずる。
また n=4, a=1 なら T(4,1) = {3,5,9,17}、Bの濃度= 2^4-4-1=11。
一般化して、n=t, a=u とすれば B(T(t,u),2^t+u) = 2^t-t-1。
ここで n→∞ とすれば当然 B の濃度→∞。よって代素数は幾らでも必要とされる。以上。

注釈
先の証明は自然数列の間隙を後方からみたものだが、前方からみた場合がこれである。
なぜ 2^n+a が素数・合成数の代りと見做せるかは、3以上の実際の素数より自然数列上に
きめ細かく存在し得る為、 実際は余集合がより大きく採れるからにほかならない。
Lyscal さん 2020/07/22 20:55:56 報告
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(削除)
prime_132 さん 2020/08/03 18:32:32 報告