皆の投稿 - 順列の問題 - 数学博物館すうじあむ

順列の問題

公開日時: 2020/06/29 16:30

コメント数: 18

カテゴリ: 入試・教育

ご無沙汰しています。久しぶりの投稿です。よろしくお願いします。

神大オープン？？？だったと思うのですが、

問題

$[式：…]$ を $[式：…]$ 以上の整数とし， $[式：…]$ を $[式：…]$ 以上 $[式：…]$ 以下の整数とする。

袋の中に数 $[式：…]$ が書かれた球が $[式：…]$ 個，数 $[式：…]$ が書かれた球が $[式：…]$ 個，数 $[式：…]$ が書かれた球が $[式：…]$ 個，合計 $[式：…]$ 個の球が入っている。

袋から1つずつ球を取り出し、取り出した順に書かれている数を

$[式：…]$ ， $[式：…]$ ， $[式：…]$ ，・・・， $[式：…]$

とする。ただし取り出したものは袋に戻さないものとする。

このとき， $[式：…]$ 以上 $[式：…]$ 以下のすべての整数 $[式：…]$ に対して $[式：…]$

となる確率，すなわち

$[式：…]$ < $[式：…]$ かつ $[式：…]$ < $[式：…]$ かつ・・・かつ $[式：…]$ ・・・ $[式：…]$ < $[式：…]$

となる確率 $[式：…]$ とする。

(1) $[式：…]$ を求めよ。

(2) $[式：…]$ を求めよ。

です。

私の(2)の解答は

(i) 0 がm個続くとき，残りのn-m個は自由に並べ替えできる。

(ii)最初が0で，2番目からm番目までの間に0がm-2個と1が1個のとき，m+1番目は0で、その後のn-m-1個は自由に並べ替えできる。

としたのですが、考え方はあっているでしょうか？

また、もっと良い解き方がありますか？

ご教授ください。

公序良俗に反する不適切な投稿を発見された方はこちらよりご報告ください

No	メッセージ	投稿者	日時
1	同じ投稿が2回されていたみたいなので、片方は消去しました。すいません。	33846 さん	2020/06/29 19:28:46	報告
2	余事象のほうが楽でしょうか？考えてたら余事象は ①最初が1 ②1からｍ回目までに 1 はでないで m が出る ③最初が 0 で, 2 回目から m 回目までに1が出て，m+1 回目に m が出るでしょうか。	33846 さん	2020/06/30 15:02:45	報告
3	初めまして！気になっちゃったので、お邪魔させて頂きます！確率苦手なので、間違えてたらスミマセン。 (1) p(2,4)は、 1番目は0、 2番目は0か1、 3番目は2番目が0の時は1か2、1の時は0、 4番目は残り。 p(2,4) =(2/41/32/21/1)+(2/41/31/21/1) =1/4 End. (2) p(m,n)は、 1番目は0、 2番目からm番目は0か1、 m+1番目は1が出ていなかったら0か1かm、1が出ていたら0、 m+2番目からn番目はm番目まで以外どれでも。 p(m,n) = [(n-2){(n-3)(n-4)..(n-m-1)}(n-m)(n-m-1)!]/n! + [(n-2){(n-3)(n-4)..(n-m)1}1(n-m-1)!]/n! = {(n-2)!(n-m)(n-m-1)+(n-2)!*1}/n! = {(n-m)(n-m-1)+1}/n(n-1) End. ……で合っていますか？よろしくお願いしま～す。 ※p(2,4)とp(m,n)の計算式を訂正致しましたm(_ _)m	パスタさん	2020/06/30 21:04:50	報告
4	上記の書き込みを訂正させて頂きました。スレ汚し失礼致しますm(_ _)m	パスタさん	2020/06/30 22:10:19	報告
5	タイトル、数列じゃなくて順列なので直しました。パスタさん、コメントありがとうございます。私も同じような考え方で解きました。答えを持っていないので、私も正解が知りたいです。ちなみに私の解答は (n^2-mn-2n+2)/n(n-1) です。	33846 さん	2020/07/01 07:12:26	報告
6	ご返信ありがとうございます！難しいですね……私も正解を知りたいです。出された数式はどういう計算ですか？　よろしければ、ご教授ください。	パスタさん	2020/07/01 10:50:35	報告
7	数ｍの書かれた球の置く場所で場合分けしたらどうでしょうか？	クロニャンコさん	2020/07/01 12:51:15	報告
8	パスタさん私の計算は ①0がmこ続く場合が(n-m)!/(n-m-2)!通り ②最初が0で、m-1番目までに1があり，m番目が0,m+1番目以降にmがある場合が(m-1)(n-m-2)通り ③全体の並べ方がn!/(n-2)! で (①＋②)/③ としました。間違いかもしれないので、間違っていたら指摘してください。	33846 さん	2020/07/02 07:17:06	報告
9	クロニャンコさん mの置かれた場所で場合分けですか。なるほど。考えてみます。またご教授ください。	33846 さん	2020/07/02 07:18:13	報告
10	>33846様ありがとうございます。 ①は納得でした。 ②はm+1番目までに1があり、m+2番目以降にmがあるのではないでしょうか。(そうでなければ、＜が満たされないと思うのですが。＝は無いですよね？) m番目を分けられた理由が分かりませんでした……。後、1番目は0なので1がm通り、mがn-m-1通り、でしょうか。 ③も納得でした。 33846様の解法で上記の攻め方をすると、 ①(n-m)!/(n-m-2)!=(n-m)(n-m-1) ②m(n-m-1) ③n!/(n-2)!=n(n-1) よって、 (①+②)/③=(n-m+1)(n-m-1)/n(n-1)=(n-m)^2-1/n(n-1) 私の解答とも違いますね……どうなのでしょう……？	バジル(旧パスタ) さん	2020/07/03 02:00:30	報告
11	バジル(旧パスタ)様バジル様の方法で分けると ①と②が排反ではなくなるような０００００００・・・・・０１０がm個の次が１となる事象が ①にも②にも存在するので・・・難しいですね。で、私の②もおかしいですね。結論　②は「最初のm番目までに1があり，m+1番目が0 m+2番目以降にmがある」とすればよいのかな？	33846 さん	2020/07/03 12:16:22	報告
12	気付いたのですが余事象は最初のm個が ①0とmのみの場合 ②0と1とmの場合 ③0と1で，m+1番目がmの場合と考えれば、計算が簡単ですね。この考え方は正しいですか？	33846 さん	2020/07/03 14:09:42	報告
13	$[式：…]$ は確定。 (ｱ)　 $[式：…]$ のとき $[式：…]$ したがって, 残りのn-(m+1)項の１つが1 (ｲ)　 $[式：…]$ , $[式：…]$ のとき, 残りのn-2項の１つが１でのこりは0 (ｱ)(ｲ)の場合が条件をみたす。と考えました。	クロニャンコさん	2020/07/03 16:48:38	報告
14	クロニャンコ様初めましてm(_ _)m お邪魔致します！ m,1,0の確率を乗すると、 (ア) 1/n{n-(m+1)}/(n-1)(n-2)/(n-2) (イ) {n-(m+1)}/n(n-2)/(n-1)(n-2)/(n-2) よって、確率は、 {(ア)+(イ)}={n-(m+1)}(1+(n-2)}/n(n-1)=(n-m-1)/n でしょうか。ああ、難しいですね！	バジル(旧パスタ) さん	2020/07/03 18:24:35	報告
15	33846様 >①と②が排反ではなくなるような確かに、そうですね！ >「最初のm番目までに1があり，m+1番目が0 m+2番目以降にmがある」この条件なら良さそうですね。この時、①+②は、 (n-m)(n-m-1)+m(n-m-1)=n(n-m-1) よって、n(n-m-1)/n(n-1)=(n-m-1)/(n-1) かなぁ？毎回、違う解になる……(苦笑) >①0とmのみの場合 >②0と1とmの場合 >③0と1で，m+1番目がmの場合 ①m(n-m) ②m(m-1)(m-2) ③m 1-(①+②+③)/n(n-1) =1-m(n-m+m^2-3m+2+1)/n(n-1) =1-m(m^2-4m+n+3)/n(n-1) ={n(n-1)-m(m^2-4m+n+3)}/n(n-1) 考え方は良いと思うのですが……分からないです！すみません。そもそも、(1)p(2,4)はいくつなのでしょう？その解が分かれば代入で確認できるのになぁ。ぐだぐだですいません……。	バジル(旧パスタ) さん	2020/07/04 19:38:36	報告
16	バジルさん＞そもそも、(1)p(2,4)はいくつなのでしょう？ 4つの数字｛0,0,1,2｝の並べ方は、12通りなので全部調べても手間はそうかかりません。該当するのは、0012,0021,0102の3通りですからP（2,4)=1/4 と考えました。	クロニャンコさん	2020/07/05 07:05:15	報告
17	クロニャンコ様ありがとうございます。ほんとに難しいです……。	バジル(旧パスタ) さん	2020/07/05 15:19:58	報告
18	クロニャンコ様お返事ありがとうございます。最初におっしゃていたmの場所で場合分けというやつですね。すっきりしていますね。	33846 さん	2020/07/06 08:42:04	報告

メッセージ

投稿者

日時

同じ投稿が2回されていたみたいなので、片方は消去しました。
すいません。

33846 さん

2020/06/29 19:28:46

報告

余事象のほうが楽でしょうか？
考えてたら
余事象は
①最初が1
②1からｍ回目までに 1 はでないで m が出る
③最初が 0 で, 2 回目から m 回目までに1が出て，m+1 回目に m が出る
でしょうか。

33846 さん

2020/06/30 15:02:45

報告

初めまして！
気になっちゃったので、お邪魔させて頂きます！
確率苦手なので、間違えてたらスミマセン。

(1)
p(2,4)は、
1番目は0、
2番目は0か1、
3番目は2番目が0の時は1か2、1の時は0、
4番目は残り。

p(2,4)
=(2/4*1/3*2/2*1/1)+(2/4*1/3*1/2*1/1)
=1/4

End.

(2)
p(m,n)は、
1番目は0、
2番目からm番目は0か1、
m+1番目は1が出ていなかったら0か1かm、1が出ていたら0、
m+2番目からn番目はm番目まで以外どれでも。

p(m,n)
=
[(n-2){(n-3)(n-4)..(n-m-1)}(n-m)(n-m-1)!]/n!
+
[(n-2){(n-3)(n-4)..(n-m)*1}*1*(n-m-1)!]/n!
=
{(n-2)!*(n-m)(n-m-1)+(n-2)!*1}/n!
=
{(n-m)(n-m-1)+1}/n(n-1)

End.

……で合っていますか？
よろしくお願いしま～す。

※p(2,4)とp(m,n)の計算式を訂正致しましたm(_ _)m

パスタさん

2020/06/30 21:04:50

報告

上記の書き込みを訂正させて頂きました。
スレ汚し失礼致しますm(_ _)m

パスタさん

2020/06/30 22:10:19

報告

タイトル、数列じゃなくて順列なので直しました。
パスタさん、コメントありがとうございます。
私も同じような考え方で解きました。
答えを持っていないので、私も正解が知りたいです。
ちなみに私の解答は
(n^2-mn-2n+2)/n(n-1)
です。

33846 さん

2020/07/01 07:12:26

報告

ご返信ありがとうございます！

難しいですね……私も正解を知りたいです。
出された数式はどういう計算ですか？　よろしければ、ご教授ください。

パスタさん

2020/07/01 10:50:35

報告

数ｍの書かれた球の置く場所で場合分けしたらどうでしょうか？

クロニャンコさん

2020/07/01 12:51:15

報告

パスタさん
私の計算は
①0がmこ続く場合が(n-m)!/(n-m-2)!通り
②最初が0で、m-1番目までに1があり，m番目が0,m+1番目以降にmがある場合が(m-1)(n-m-2)通り
③全体の並べ方がn!/(n-2)!
で
(①＋②)/③
としました。
間違いかもしれないので、間違っていたら指摘してください。

33846 さん

2020/07/02 07:17:06

報告

クロニャンコさん
mの置かれた場所で場合分けですか。なるほど。
考えてみます。
またご教授ください。

33846 さん

2020/07/02 07:18:13

報告

>33846様

ありがとうございます。
①は納得でした。
②はm+1番目までに1があり、m+2番目以降にmがあるのではないでしょうか。(そうでなければ、＜が満たされないと思うのですが。＝は無いですよね？)
m番目を分けられた理由が分かりませんでした……。
後、1番目は0なので1がm通り、mがn-m-1通り、でしょうか。
③も納得でした。

33846様の解法で上記の攻め方をすると、
①(n-m)!/(n-m-2)!=(n-m)(n-m-1)
②m(n-m-1)
③n!/(n-2)!=n(n-1)

よって、
(①+②)/③=(n-m+1)(n-m-1)/n(n-1)=(n-m)^2-1/n(n-1)

私の解答とも違いますね……どうなのでしょう……？

バジル(旧パスタ) さん

2020/07/03 02:00:30

報告

バジル(旧パスタ)様
バジル様の方法で分けると
①と②が排反ではなくなるような
０００００００・・・・・０１
０がm個の次が１となる事象が
①にも②にも存在するので・・・
難しいですね。

で、私の②もおかしいですね。
結論　②は「最初のm番目までに1があり，m+1番目が0
m+2番目以降にmがある」
とすればよいのかな？

33846 さん

2020/07/03 12:16:22

報告

気付いたのですが
余事象は
最初のm個が
①0とmのみの場合
②0と1とmの場合
③0と1で，m+1番目がmの場合
と考えれば、計算が簡単ですね。
この考え方は正しいですか？

33846 さん

2020/07/03 14:09:42

報告

$[式：…]$ は確定。
(ｱ)　 $[式：…]$ のとき $[式：…]$ したがって, 残りのn-(m+1)項の１つが1
(ｲ)　 $[式：…]$ , $[式：…]$ のとき,
残りのn-2項の１つが１でのこりは0
(ｱ)(ｲ)の場合が条件をみたす。
と考えました。

クロニャンコさん

2020/07/03 16:48:38

報告

クロニャンコ様

初めましてm(_ _)m
お邪魔致します！

m,1,0の確率を乗すると、
(ア) 1/n*{n-(m+1)}/(n-1)*(n-2)/(n-2)
(イ) {n-(m+1)}/n*(n-2)/(n-1)*(n-2)/(n-2)

よって、確率は、
{(ア)+(イ)}={n-(m+1)}(1+(n-2)}/n(n-1)=(n-m-1)/n
でしょうか。

ああ、難しいですね！

バジル(旧パスタ) さん

2020/07/03 18:24:35

報告

33846様

>①と②が排反ではなくなるような

確かに、そうですね！

>「最初のm番目までに1があり，m+1番目が0
m+2番目以降にmがある」

この条件なら良さそうですね。

この時、①+②は、
(n-m)(n-m-1)+m(n-m-1)=n(n-m-1)
よって、n(n-m-1)/n(n-1)=(n-m-1)/(n-1)
かなぁ？
毎回、違う解になる……(苦笑)

>①0とmのみの場合
>②0と1とmの場合
>③0と1で，m+1番目がmの場合

①m(n-m)
②m(m-1)(m-2)
③m

1-(①+②+③)/n(n-1)
=1-m(n-m+m^2-3m+2+1)/n(n-1)
=1-m(m^2-4m+n+3)/n(n-1)
={n(n-1)-m(m^2-4m+n+3)}/n(n-1)

考え方は良いと思うのですが……分からないです！
すみません。

そもそも、(1)p(2,4)はいくつなのでしょう？
その解が分かれば代入で確認できるのになぁ。
ぐだぐだですいません……。

バジル(旧パスタ) さん

2020/07/04 19:38:36

報告

バジルさん
＞そもそも、(1)p(2,4)はいくつなのでしょう？
4つの数字｛0,0,1,2｝の並べ方は、12通りなので全部調べても
手間はそうかかりません。
該当するのは、0012,0021,0102の3通りですからP（2,4)=1/4
と考えました。

クロニャンコさん

2020/07/05 07:05:15

報告

クロニャンコ様

ありがとうございます。
ほんとに難しいです……。

バジル(旧パスタ) さん

2020/07/05 15:19:58

報告

クロニャンコ様
お返事ありがとうございます。
最初におっしゃていたmの場所で場合分けというやつですね。
すっきりしていますね。

33846 さん

2020/07/06 08:42:04

報告