順列の問題

33846 さん

  • 公開日時: 2020/06/29 16:30
  • 閲覧数: 1016
  • コメント数: 18
  • カテゴリ: 入試・教育

ご無沙汰しています。久しぶりの投稿です。よろしくお願いします。

神大オープン???だったと思うのですが、

問題

[式:…][式:…] 以上の整数とし,[式:…][式:…] 以上 [式:…] 以下の整数とする。

袋の中に数 [式:…] が書かれた球が [式:…] 個,数 [式:…] が書かれた球が [式:…] 個,数 [式:…] が書かれた球が [式:…] 個,合計 [式:…] 個の球が入っている。

袋から1つずつ球を取り出し、取り出した順に書かれている数を

[式:…][式:…][式:…],・・・,[式:…]

とする。ただし取り出したものは袋に戻さないものとする。

このとき,[式:…] 以上 [式:…] 以下のすべての整数 [式:…] に対して [式:…]

となる確率,すなわち

[式:…]<[式:…] かつ [式:…]<[式:…] かつ・・・かつ [式:…]・・・[式:…]<[式:…]

となる確率 [式:…] とする。

(1) [式:…] を求めよ。

(2) [式:…] を求めよ。

です。

私の(2)の解答は

(i) 0 がm個続くとき,残りのn-m個は自由に並べ替えできる。

(ii)最初が0で,2番目からm番目までの間に0がm-2個と1が1個のとき,m+1番目は0で、その後のn-m-1個は自由に並べ替えできる。

としたのですが、考え方はあっているでしょうか?

また、もっと良い解き方がありますか?

ご教授ください。

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No メッセージ 投稿者 日時    
9
クロニャンコさん
mの置かれた場所で場合分けですか。なるほど。
考えてみます。
またご教授ください。
33846 さん 2020/07/02 07:18:13 報告
10
>33846様

ありがとうございます。
①は納得でした。
②はm+1番目までに1があり、m+2番目以降にmがあるのではないでしょうか。(そうでなければ、<が満たされないと思うのですが。=は無いですよね?)
m番目を分けられた理由が分かりませんでした……。
後、1番目は0なので1がm通り、mがn-m-1通り、でしょうか。
③も納得でした。

33846様の解法で上記の攻め方をすると、
①(n-m)!/(n-m-2)!=(n-m)(n-m-1)
②m(n-m-1)
③n!/(n-2)!=n(n-1)

よって、
(①+②)/③=(n-m+1)(n-m-1)/n(n-1)=(n-m)^2-1/n(n-1)

私の解答とも違いますね……どうなのでしょう……?
バジル(旧パスタ) さん 2020/07/03 02:00:30 報告
11
バジル(旧パスタ)様
バジル様の方法で分けると
①と②が排反ではなくなるような
0000000・・・・・01
0がm個の次が1となる事象が
①にも②にも存在するので・・・
難しいですね。

で、私の②もおかしいですね。
結論 ②は「最初のm番目までに1があり,m+1番目が0
m+2番目以降にmがある」
とすればよいのかな?
33846 さん 2020/07/03 12:16:22 報告
12
気付いたのですが
余事象は
最初のm個が
①0とmのみの場合
②0と1とmの場合
③0と1で,m+1番目がmの場合
と考えれば、計算が簡単ですね。
この考え方は正しいですか?
33846 さん 2020/07/03 14:09:42 報告
13
[式:…] は確定。
(ア) [式:…]のとき[式:…] したがって, 残りのn-(m+1)項の1つが1
(イ) [式:…],[式:…]のとき,
残りのn-2項の1つが1でのこりは0
(ア)(イ)の場合が条件をみたす。
と考えました。
クロニャンコ さん 2020/07/03 16:48:38 報告
14
クロニャンコ様

初めましてm(_ _)m
お邪魔致します!

m,1,0の確率を乗すると、
(ア) 1/n*{n-(m+1)}/(n-1)*(n-2)/(n-2)
(イ) {n-(m+1)}/n*(n-2)/(n-1)*(n-2)/(n-2)

よって、確率は、
{(ア)+(イ)}={n-(m+1)}(1+(n-2)}/n(n-1)=(n-m-1)/n
でしょうか。

ああ、難しいですね!
バジル(旧パスタ) さん 2020/07/03 18:24:35 報告
15
33846様

>①と②が排反ではなくなるような

確かに、そうですね!

>「最初のm番目までに1があり,m+1番目が0
m+2番目以降にmがある」

この条件なら良さそうですね。

この時、①+②は、
(n-m)(n-m-1)+m(n-m-1)=n(n-m-1)
よって、n(n-m-1)/n(n-1)=(n-m-1)/(n-1)
かなぁ?
毎回、違う解になる……(苦笑)


>①0とmのみの場合
>②0と1とmの場合
>③0と1で,m+1番目がmの場合

①m(n-m)
②m(m-1)(m-2)
③m

1-(①+②+③)/n(n-1)
=1-m(n-m+m^2-3m+2+1)/n(n-1)
=1-m(m^2-4m+n+3)/n(n-1)
={n(n-1)-m(m^2-4m+n+3)}/n(n-1)

考え方は良いと思うのですが……分からないです!
すみません。

そもそも、(1)p(2,4)はいくつなのでしょう?
その解が分かれば代入で確認できるのになぁ。
ぐだぐだですいません……。
バジル(旧パスタ) さん 2020/07/04 19:38:36 報告
16
バジルさん
>そもそも、(1)p(2,4)はいくつなのでしょう?
4つの数字{0,0,1,2}の並べ方は、12通りなので全部調べても
手間はそうかかりません。
該当するのは、0012,0021,0102の3通りですからP(2,4)=1/4
と考えました。
クロニャンコ さん 2020/07/05 07:05:15 報告
17
クロニャンコ様

ありがとうございます。
ほんとに難しいです……。
バジル(旧パスタ) さん 2020/07/05 15:19:58 報告
18
クロニャンコ様
お返事ありがとうございます。
最初におっしゃていたmの場所で場合分けというやつですね。
すっきりしていますね。
33846 さん 2020/07/06 08:42:04 報告