20年名大(理系)確率漸化式

  • 公開日時: 2020/03/17 12:29
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  • カテゴリ: 入試・教育

4. 2名が先攻と後攻にわかれ,次のようなゲームを行う。

(ⅰ) 正方形の4つの頂点を反時計回りにA, B, C, Dとする。両者はコマを1つずつ持ち, ゲーム開始時には先攻の持ちゴマ

はA, 後攻の持ちゴマはCに置いてあるとする。

(ⅱ) 先攻から始めて, 交互にサイコロを振る。ただしサイコロは1から6までの目が等確率で出るものとする。出た目を3で

割った余りが0のときコマは動かさない。また余りが1のときは,自分のコマを反時計回りに隣の頂点に動かし,余りが2の

ときは, 自分のコマを時計回りに隣の頂点に動かす。もし移動した先に相手のコマがあれば,その時点でゲームを終了とし,

サイコロを振ったものを勝ちとする。

ちょうどn回サイコロが振られたときに勝敗が決まる確率を[式:…]とする。このとき, 以下の問いに答えよ。

(1) [式:…]を求めよ。

(2) [式:…]を求めよ。

(3) このゲームは後攻にとって有利であること, すなわち2以上の任意の整数Nに対して

[式:…]

       が成り立つことを示せ。ただし正の実数aに対し[a]はその整数部分(k≦a<k+1となる整数k)を表す。

名大では 16、17、18年にも確率漸化式が出題されています。名大受験生は、準備して受験しているでしょうが

(2)は,うまく整理して解答しないと計算ミスをしてしまう。(3)でも苦戦したのではないでしょうか?

4題150分ですが, どの問題も骨がありますね。1番の2次曲線も文字計算で苦戦したのでは?

1番を乗り切れば合格に近づいたと思う。

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1
おじゃま虫です。

n回目で コマが重なる確率を p_n,
n回後に コマが隣の頂点にある確率を q_n,
n回後に コマが真向かいの頂点にある確率を r_n,
とおく。

[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]

(1)
[式:…]

(2)
p_n, q_n, r_n はいずれも漸化式
[式:…]
をみたす。
特性値は a = (1-√2)/3, b = (1+√2)/3.
n≧1 のとき
[式:…]
[式:…]
[式:…]

(3)
N=2 のときは 0 = p_1 < p_2 で成立。

n>2 のとき
 漸化式より
[式:…]
∴ q_n および p_n (n>1) は単調減少。
[式:…]

[式:…]

∴ Nが奇数のとき成立。
 Nが偶数のときは 右辺が p_N だけ増えるから、やはり成立。
prime_132 さん 2020/03/27 12:36:15 報告