〔不等式311〕

prime_132 さん

  • 公開日時: 2020/01/21 00:59
  • 閲覧数: 270
  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 教養・雑学

〔不等式311〕

実数a,b,cが
  a < b < c, a+b+c = 6, ab+bc+ca = 9,
を満たしている。
 0 < a < 1 < b < 3 < c < 4,
を証明せよ。

  高校数学問題bot (@7k_x)
  //rio2016.5ch.net/math/ 不等式スレ10-311
 //www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-371
- - - - - - - - - - - - - - -
3a(4-a) = (c-b)^2 >0,
3c(4-c) = (b-a)^2 >0,
(c-a)^2 -9 = (c-b)(b-a) >0,
3(3-b)(b-1) = (c-b)(b-a) >0,
を使うのかも・・・・

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1
 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-6x^2+9x-abc
とすると,
 0<a<1<b<3<c<4
を示すには
 f(0)=-abc<0
かつ f(1)=4-abc>0
かつ f(3)=-abc<0
かつ f(4)=4-abc>0
を示せばよい。f(x)=0とすると
 abc=x^3-6x^2+9x
となり,微分して増減表を書けばx=1で極大値4,x=3で極小値0をとることが分かる。よって,0<x<4のとき,0<abc<4となる。
したがって
 f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0,f(4)>0
であるから
 0<a<1<b<3<c<4
が成り立つ。

という感じではいかがでしょうか?
ten さん 2020/02/14 13:22:52 報告
2
>>1
正解です!
なるほど、その手があったか。
Casphy! にもありましたね。(掟破りの逆十字 さん, 1/24)
prime_132 さん 2020/02/16 01:01:14 報告
3
prime_132 さんのご提示された解法は, ベトナムの中高校生の模範解答であるそうです.
はじめて, この解法を見たとき, 衝撃を受けました.

本問は, 穴埋め問題ならば, 30秒で解けそうです ^^


P.S. ten さんの解法で解いた際, UK MOの団長さんから, Rolle の定理について触れた方が良いというアドヴァイスを受けたのを思い出します ^^ もし, そうだとしたならば, 日本の文系の受験生, 完答できなくなってしまう

Hint : abc = k とおく ==> Vieta ==> 長方形, 4枚

My Memo ^^

1996 British MO
2000 学習院大/理
199? or 200? Singapore MO
199? 関西学院大
近谷邦彦 さん 2020/02/24 11:06:40 報告