凶悪過ぎて投稿を自粛していた MathPower2019 供養の供養

  • 公開日時: 2020/01/18 15:56
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  • カテゴリ: その他

任意の実数[式:…]に対して、[式:…]空間上の[式:…]直線

[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

の全てと交わる直線[式:…]は高々[式:…]本存在しますが、

[式:…][式:…]本存在するときのその[式:…]直線間の最短距離を[式:…]で表します。

但し、[式:…][式:…]本も存在しない場合は[式:…]とします。

このとき、[式:…]を求めてください。

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むむむ、たしかに凶悪でござる。

まず、4点
 (1, -1, -1/t)
 (-(1-3t)/(1+t), 1, -1)
 (-1, (1+3t)/(1-t), 1)
 (t, t, t -(1+3tt)/2t)
を通る直線を L(t) とおく。

2直線
L(t): (t+1)(x-1) = (t-1)(y+1) = -2(tz +1),
L(t'): (t'+1)(x-1) = (t'-1)(y+1) = -2(t'z +1),
の最接近する点 (x,y,z) と (x',y',z') は
 x = 1 +2(t-1)(t't'+2tt'+1)/w,
 y = -1 +2(t+1)(t't'+2tt'+1)/w,
 z = -2{tt'(t+5t')+(t+t')}/w
 x' = 1 +2(t'-1)(tt+2tt'+1)/w,
 y' = -1 +2(t'+1)(tt+2tt'+1)/w,
 z' = -2{tt'(5t+t')+(t+t')}/w
ここに
 w = (t-t')^2 + (1+3tt')^2,
2直線 L(t),L(t') の最短距離 l_p は
(l_p)^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 = (8/w)(t-t')^2.

さて、題意により L(t) は (t, t, t+p) を通るから
 -(1+3tt)/2t = p,
 3tt +2pt +1 = 0,
この2次方程式は、 |p| > √3 のとき2実根 t≠t' をもつ。
根と係数の関係から
 t + t' = -2p/3,
 tt' = 1/3,
 (t-t')^2 = (t+t')^2 - 4tt' = (-2p/3)^2 - 4/3 = 4(pp-3)/9,
したがって
 (l_p)^2 = 8{4(pp-3)/9}/{4(pp-3)/9 + 4}
 = 8(pp-3)/(pp+6)
 → 4/5,  (p→2)
l_p → 2/√5,  (p→2)

p→2 とすると t→-1, t'→-1/3.
L(-1): y≒-1, z≒1   (x~0で)
 最接近点 (x,y,z) ≒ (-3/5, -1, 1)
L(-1/3): -1-x' = 2y' = 1-z',
 最接近点 (x',y',z') = (-3/5, -1/5, 7/5)
prime_132 さん 2020/01/26 02:14:41 報告
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prime_132 さん

ご回答ありがとうございます。
凶悪を自称している問題の性質上じっくり見れていませんが、
(l_p)^2 はこちらで計算した分と同じですので合っている筈です。

とても簡潔に纏められていますが、この回答に至るまで
裏で膨大な計算に追われた事は想像に難くありません。
ご回答誠にお疲れ様でした。

p→2 での L の様子まで記載していただきありがとうございます。
L(-1) ってこんな事になっていたのですね。為になります。
プラスト さん 2020/01/26 21:43:46 報告