〔不等式294〕

prime_132 さん

  • 公開日時: 2020/01/04 18:36
  • 閲覧数: 616
  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 教養・雑学

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1
[式:…]とおく。
x,y,zは,0以上の実数
不等式は[式:…]
対称性より x≧y≧z≧0 として一般性を失わない。
[式:…]
したがって[式:…]を示せば十分。
(ⅰ) 0≦x≦1のとき
左辺≧27≧右辺 左の等号成立はx=y=z=0のときだから,右辺は=0
したがって,不等式は成立
(ⅱ) x>1のとき
  [式:…]
したがって[式:…]
[式:…]
クロニャンコ さん 2020/03/22 08:37:58 報告
2
>>1
正解です!

(ii) は AM-GM で
[式:…]
[式:…]
と改良できますね。 もっとも (i)の場合は 1.008619375112 倍までしか行けないから、あまり意味ないかも・・・・

[式:…]
として コーシーの不等式
[式:…]
を使う方法もありますが。。。

あるいは
[式:…]
とおくと 凸不等式より
[式:…]
よって
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
prime_132 さん 2020/03/24 07:37:06 報告
3
なるほど!AM-GM,コーシーの利用うまいですね。
勉強になります。
クロニャンコ さん 2020/03/24 19:45:50 報告
あけましておめでとうございます。 . 〔不等式294〕 実数a,b,cについて ${ (a ^{2020}\ - a ^{2}\ + 2 ^{2}) (b ^{2020}\ - b ^{2}\ + 2 ^{2}) (c ^{2020}\ - c ^{2}\ + 2 ^{2})\ >\ (a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}) ^{3}, }$ . ( //rio2016.5ch.net/math/  不等式スレ10-294,301,304 ) ( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/  不等式2-369 ) . まず ${ x ^{m+n} - x ^{m} - x ^{n} +1\ =\ (x ^{m} -1)(x ^{n} -1)\ \ge\ 0, }$ 後は・・・・