三平方の定理の証明

stdnt さん

  • 公開日時: 2019/12/02 15:43
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  • カテゴリ: 研究・考察

<第Ⅰ節>

次図のような直角三角形△ABCを考える。

(辺の長さはa,b<cで、実数である。)

図1.jpg

この直角三角形の斜辺に向かって垂線を引き、斜辺との交点をH1とする。

この時の垂線の長さをh1とする。

この垂線によって二つに分割されたうち、点Aを含む方の直角三角形△ACH1にも同様に

斜辺に向かって垂線を引き、斜辺との交点をH2とする。

この時の垂線の長さをh2とする。

この操作を無限に繰り返す(次図)。

図2.jpg

 

<Ⅰ>

面積について、全体の面積=分割された面積の和 から、

△ABC = △CBH1 + △H1CH2 + △H2H1H3 + ・・・

 

<Ⅱ>

分割されたすべて三角形について、

△ABC ∽ △CBH1 ∽ △H1CH2 ∽ ・・・

(∠B = ∠AH1H2 = ∠AH3H4 = ・・・

 ∠B = π/2 - ∠A = ∠ACH1 =∠AH2H3 =・・・より)

相似比は

△ABC : △CBH1 : △H1CH2 : △H2H1H3 : ・・・ = c : a : h1 : h2 : ・・・

よって面積比 = 相似比^2から、面積比は

△ABC : △CBH1 : △H1CH2 : △H2H1H3 : ・・・ = c^2 : a^2 : (h1)^2 : (h2)^2 : ・・・

つまり各三角形の面積は

△CBH1 = ( a^2 / c^2 )・△ABC

△H1CH2 = ( (h1)^2 / c^2 )・△ABC

 

<Ⅲ>

以上<Ⅰ>と<Ⅱ>の結果を合わせると、

c^2 = a^2 + (h1)^2 + (h2)^2 + ・・・

が得られる。

 

<Ⅳ>

上記<Ⅲ>の関係式を△ABCと△ACH1に適用すると、

△ABC:c^2 = a^2 + (h1)^2 + (h2)^2 + ・・・  ①

△ACH1:b^2 = (h1)^2 + (h2)^2 + ・・・        ②

①に②を代入すると、三平方の定理

c^2 = a^2 + b^2

が示された。

(終)

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