公比0以上1未満の等比級数の和の公式の証明(複平方の定理)

stdnt さん

  • 公開日時: 2019/11/28 15:27
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  • カテゴリ: 研究・考察

公比が0以上1未満の等比級数の和の公式の証明です。

証明の過程で「三平方の定理」を拡張した定理(「複平方の定理」と名付けた)を用います。

(新規性があるかどうかは定かではないですが、似たようなものが見当たりません。)

(より見やすい数式として同じものをhttps://chfkd0.wixsite.com/mysiteに掲載しています。)

 

証明:

 

<第Ⅰ節>

次図のような直角三角形△ABCを考える。

(辺の長さはa,b<cで、実数である。)

図1.jpg

この直角三角形の斜辺に向かって垂線を引き、斜辺との交点をH1とする。

この時の垂線の長さをh1とする。

この垂線によって二つに分割されたうち、点Aを含む方の直角三角形△ACH1にも同様に

斜辺に向かって垂線を引き、斜辺との交点をH2とする。

この時の垂線の長さをh2とする。

この操作を無限に繰り返す(次図)。

図2.jpg

以下のように三平方の定理を順次適用する。

△ABC  :     c^2    =    a^2   +    b^2

△ACH1 :     b^2     =  (h1)^2 +  (AH1)^2

△AH1H2:  (AH1)^2  =  (h2)^2  +  (AH2)^2

                        :

これらの式を全て足し合わせると、

c^2 = a^2 + (h1)^2 + (h2)^2 + (h3)^2 + ・・・

という式が成り立つ。

この関係式を、三平方の定理の拡張定理として「複平方の定理」と名付けることにする。

 

<第Ⅱ節>

前節で定めた垂線の長さh1,h2,・・の長さそれぞれを、三角形の相似から求める。

△ABC∽△CBH1より、b/c = (h1)/a ⇒ (h1) = (b/c)・a ・・・(*)

△ABC∽△H1CH2より、b/c = (h2)/(h1) ⇒ (h2) = (b/c)・h1 = ((b/c)^2)・a ((*)より)

以下同様にすると、

(h3) = ((b/c)^3)・a

(h4) = ((b/c)^4)・a

         :

以上の結果を用いると、

a^2 + (h1)^2 + (h2)^2 + (h3)^2 + ・・・ = a^2(1+r+r^2+r^3+・・・) ( r = (b/c)^2 < 1 )

 

<第Ⅲ節>

第Ⅰ節の複平方の定理より、

c^2 = a^2 + (h1)^2 + (h2)^2 + (h3)^2 + ・・・

第Ⅱ節の結果より、

a^2 + (h1)^2 + (h2)^2 + (h3)^2 + ・・・ = a^2(1+r+r^2+r^3+・・・) ( r = (b/c)^2 < 1 )

両者を合わせると、

     a^2(1+r+r^2+r^3+・・・) = c^2 ( r = (b/c)^2 < 1 )

⇒  1+r+r^2+r^3+・・・       = (c^2)/(a^2)

                               = (c^2)/((c^2) - (b^2)) (三平方の定理より)

                               = 1 / ( 1- (b/c)^2 )

                               = 1 / ( 1-r )

以上により、公比が0以上1未満の等比級数の和の公式が証明された。

(終)

 

<補足>

公比 r = ( b / c )^2 は0以上1未満のすべての実数値をとることができる。

証明

(ⅰ)値 b / c は0以上1未満のすべての実数値をとることができる。

図のようにcの値を半径cの円上に固定すると、bの値が連続的にとれるので。

(ⅱ)連続的な実数値xに対して、値x^2にも連続的な実数値が1対1対応している。

( y = x^2 のグラフにおける y と x の1対1対応から明らか。)

以上の(ⅰ),(ⅱ)から、補足は証明される。(終)

図4.jpg

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