中学数学で解く級数の問題

stdnt さん

  • 公開日時: 2019/11/25 16:08
  • 閲覧数: 229
  • コメント数: 2
  • カテゴリ: パズル・クイズ

初めて投稿します。

よろしくお願いいたします。

同じような問題が見当たらなかったので、オリジナルだと思うのですが。

 

直角三角形(辺の長さはa,b<cで実数)の斜辺に向かって垂線を引きます。

その垂線によって分割された三角形の点Aを含む方の直角三角形にも、

斜辺に向かって垂線を引きます。


これを無限に繰り返します。 (図参照)

これらの垂線と、最初の三角形の長さaの辺について、

それぞれの長さの二乗をとり、合計すると、いくつになるでしょうか。

高校数学の知識を用いると、等比級数の和の公式から解答できますが、

中学数学の知識でも解ける方法があります。

どのようにするでしょうか。

 

なお、この問題の解答方法は、

等比級数の和の公式の新たな(かどうかは定かではないですが・・)証明方法とも言えそうです。

詳しくは改めて投稿したいと思います。

 

(興味いただけたら、こちらも、どうぞ。→https://chfkd0.wixsite.com/mysite)

図1.jpg

図3.jpg

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
まず、図から明らかに
[式:…]
・・・(1)

題意により
[式:…]
[式:…]
よって三角相等により、直角三角形
[式:…]
はすべて相似である。したがって
[式:…]
[式:…]

(面積) = k (斜辺)^2 と書けることと (1) から
[式:…]
[式:…]

[式:…]
[式:…]
prime_132 さん 2019/12/01 23:31:59 報告
2
コメントありがとうございます。
面積からのアプローチもあるんですね。勉強になりました。
(面積)=k(斜辺)^2が一瞬わかりませんでしたが、
図形の面積比が相似比の二乗になっていることを表現しているんですね。うまい表現だなと感心しています。
ちなみに、私の解答は別投稿にて掲載しましたので、よかったら見てみてください。
この解答と合わせると、三平方の定理も証明できます。
こちらはまた、別で投稿いたします。
これからも参考になるコメントをどうぞよろしくお願いいたします。ありがとうございました。
stdnt さん 2019/12/02 11:09:06 報告