期待値?

  • 公開日時: 2019/11/25 00:46
  • 閲覧数: 209
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  • カテゴリ: 研究・考察

境界線を含む単位円内に無作為に二点を取ったとき、その二点を結ぶ線分の平均値(期待値?)を求めるという問題を思いつき、どうにか解こうとした際に以下の仮定を思いついたのですが、検索しても期待値のことについてよくわからなかったのでここに投稿します

区間[a,b]で実数xについて、値G(x)を示す点がF(x)個あるとき、区間[a,b]でこの点が示す値の平均値は

[式:…]

である

例)境界線を含む単位円内に無作為に一点を取ったとき、単位円の中心とその点を結ぶ線分の平均

単位円と中心が一致している半径r (0≤r≤1)の円について、この円周上に一点が無作為に置かれると考えると、その点の個数は円周の長さと比例すると考えられる。(点は無数にありますが...)

よって求める値は[式:…]=[式:…]

高3かつ統計学の知識ゼロなので適切な記述ができているか分かりませんが、至らない点に関しては脳内補完の上ご指摘を頂きたいです。

ちなみに思いついた問題を解いたら[式:…]となりました

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
おじゃま虫です。

点はどこでも同じ様に分布し、領域の面積に比例するとします。

半径rの円の面積は πr^2 ですから、一点を置いたとき中心からr以下にある確率は r^2.
r~r+dr にある確率は 2r・dr です。
したがって rの期待値は
[式:…]

また、二点を置いたとき、両方とも中心からR以下にある確率は R^4,
∴ 遠い方の点が R~R+dR にある確率は 4R^3・dR です。

ところで、遠い方の半径がRであるとき、近い方の点は半径Rの円内で一様に分布します。
[式:…]
 
このとき、距離 [式:…] の期待値は
[式:…]
[式:…]
[式:…]
したがって 距離Lの期待値は
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
prime_132 さん 2019/12/01 05:49:46 報告
2
答えに自信が持てました。回答ありがとうございます
れなーど さん 2019/12/04 00:44:18 報告
3
蛇足ですが、距離の2乗平均 L^2 で考えると
[式:…]

[式:…] なので 角相関θを無視でき、
[式:…]

[式:…] となります。

平方根を取っても、大き目です。
prime_132 さん 2019/12/06 08:23:31 報告