〔問題2〕

prime_132 さん

  • 公開日時: 2019/11/05 21:51
  • 閲覧数: 340
  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 教養・雑学

〔問題2〕

[式:…]

 とおくとき、nが増加すると [式:…] は増加し [式:…] は減少することを証明せよ。
(数学検定 1級 2次[2]改、2011年・秋)

採点者いわく「微分法を使うのは・・・・・本末転倒の感がある。」

5ch - 数学板

( http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551313901/559-560 数検総合スレpart13 )
( http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479394767/236-237 数検1級合格4 )
( http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479391158/195-196 数検1級スレ )

( http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/363 不等式2)

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
とりあえず
f(x)=(1+1/x)^(x+1)とおく。x>0
両辺の対数をとり
logf(x)=(x+1)(log(x+1)-logx)=g(x)とおく。
g'(x)=log(1+1/x)-1/x
g''(x)=1/x^2(x+1)>0
x->0 のとき g'(x)->0であるから
g'(x)<0となり
b(n)は単調減少数列。
採点者の意向はa(n)の方では,2項展開で
ということなのか?b(n)についても
微分を使わずにでしょうか?







クロニャンコ さん 2019/11/07 19:51:16 報告
2
c(n)は2016年東大理系1番?ですね。
クロニャンコ さん 2019/11/07 19:53:46 報告
3
>>2
〔問題〕
すべての正の実数xに対して
 (1+1/x)^x < e < (1+1/x)^(x+1/2),
が成り立つことを示せ。
ただし e = lim[t→∞] (1+1/t)^t とする。

(解答例)
示すべき式の自然対数をとると
 f(x) < 1 < g(x),
ここに
 f(x) = x・log(1+1/x),
 g(x) = (x+1/2)log(1+1/x),
eの定義より
 f(∞) = lim[t→∞] f(t) = lim[t→∞] t・log(1+1/t) = 1,
 g(∞) = lim[t→∞] g(t) = lim[t→∞] (t+1/2)log(1+1/t) = 1,
さて、
 f '(x) = log(1+1/x) -1/(x+1),
 f "(x) = -1/{x(x+1)} + 1/(x+1)^2 = -1/{x(x+1)^2} < 0,
 f '(x) = f '(∞) - ∫[x,∞] f "(t)dt > 0,
 f(x) = f(∞) - ∫[x,∞] f '(t)dt < 1,
同様に
 g '(x) = log(1+1/x) - (x+1/2)/{x(x+1)},
 g "(x) = -1/{x(x+1)} +1/(2xx) +1/{2(x+1)^2} = 1/{2xx(x+1)^2} > 0,
 g '(x) = g '(∞) - ∫[x,∞] g "(t)dt < 0,
 g(x) = g(∞) - ∫[x,∞] g '(t)dt > 1,

http://www.youtube.com/watch?v=T1Wxg4Aoj4c 12:44
prime_132 さん 2019/11/08 00:58:55 報告
4
〔応用問題I〕
 (a) n! > n^n / e^(n-1),
 (b) n! < n^(n+1) / e^(n-1),
 (c) n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),

〔応用問題II〕 
 (a) (2n)! / n! > (4n/e)^n,
 (b) (2n)! / n! < 2(4n/e)^n,
 (c) (2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,

( http://rio2016.5ch.net/math/ 数学板
 数検総合スレpart13 593-595
 数検1級合格4   243-246
 数検1級のための・・・ 197-199
 分かスレ456   417-419
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/366-367 不等式2)
prime_132 さん 2019/11/16 17:30:45 報告