すうじあむ

とりあえず
f(x)=(1+1/x)^(x+1)とおく。ｘ＞０
両辺の対数をとり
logf(x)=(x+1)(log(x+1)-logx)=g(x)とおく。
g'(x)=log(1+1/x)-1/x
g''(x)=1/x^2(x+1)>0
x->0 のとき　g'(x)->０であるから
g'(x)<0となり
ｂ(n)は単調減少数列。
採点者の意向はa(n)の方では,２項展開で
ということなのか？ｂ(n)についても
微分を使わずにでしょうか？

c(n)は2016年東大理系1番？ですね。

>>2
〔問題〕
すべての正の実数xに対して
　(1+1/x)^x < e < (1+1/x)^(x+1/2),
が成り立つことを示せ。
ただし　e = lim[t→∞] (1+1/t)^t　とする。

(解答例)
示すべき式の自然対数をとると
　f(x) < 1 < g(x),
ここに
　f(x) = x･log(1+1/x),
　g(x) = (x+1/2)log(1+1/x),
eの定義より
　f(∞) = lim[t→∞] f(t) = lim[t→∞] t･log(1+1/t) = 1,
　g(∞) = lim[t→∞] g(t) = lim[t→∞] (t+1/2)log(1+1/t) = 1,
さて、
　f '(x) = log(1+1/x) -1/(x+1),
　f "(x) = -1/{x(x+1)} + 1/(x+1)^2 = -1/{x(x+1)^2} < 0,
　f '(x) = f '(∞) - ∫[x,∞] f "(t)dt > 0,
　f(x) = f(∞) - ∫[x,∞] f '(t)dt < 1,
同様に
　g '(x) = log(1+1/x) - (x+1/2)/{x(x+1)},
　g "(x) = -1/{x(x+1)} +1/(2xx) +1/{2(x+1)^2} = 1/{2xx(x+1)^2} > 0,
　g '(x) = g '(∞) - ∫[x,∞] g "(t)dt < 0,
　g(x) = g(∞) - ∫[x,∞] g '(t)dt > 1,

http://www.youtube.com/watch?v=T1Wxg4Aoj4c 12:44

〔応用問題I〕
　(a)　n! > n^n / e^(n-1),
　(b)　n! < n^(n+1) / e^(n-1),
　(c)　n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),

〔応用問題II〕　
　(a)　(2n)! / n! > (4n/e)^n,
　(b)　(2n)! / n! < 2(4n/e)^n,
　(c)　(2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,

( http://rio2016.5ch.net/math/　数学板
　数検総合スレpart13　593-595
　数検１級合格４　　　243-246
　数検１級のための･･･ 197-199
　分かスレ４５６　　　417-419
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/366-367　不等式２)