最大値・最小値(高校標準問題)

  • 公開日時: 2019/10/03 20:33
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  • カテゴリ: 入試・教育

問 実数[式:…][式:…]を満たすとき, [式:…]の最大値と最小値を求めよ。

x=cosθ, y=sinθとおいて最大値・最小値を求める方法が,浮かびますが,三角関数を利用しないで求めてください。

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1
Soln. 1 Let y/x = t (x not 0) => D or AM-GM

Soln. 2 Using AM-GM twice directly

Soln 3. Identity

Soln. 4. Cauchy-Schwarz

Soln. 5 Let u = x/(x^2+y^2) with xy not 0 ^^
近谷邦彦 さん 2019/10/04 13:31:04 報告
2
問題は少し違いますが,近谷先生の2013年の出題がヒントになるかもしれませんので,リンクを貼っておきます。

http://suseum.jp/gq/question/2163?all_entries=true#discus_5908
のんぶ さん 2019/10/04 17:05:51 報告
3
近谷先生 多くの解法を紹介してくださりありがとうございます。
 
 Soln 3. Identityの意味が理解できないので,ご教示ください。

のんぶさん:情報ありがとうございます。
クロニャンコ さん 2019/10/04 19:26:16 報告
4
横レスで失礼しますと・・・・
Soln. 3 の Identity とは、たとえば
[式:…]
等号成立は (x,y) = (3y,y)
とか
[式:…]
等号成立は (x,y) = (x,-3x)
みたいなのかな・・・・と思料。
prime_132 さん 2019/10/04 21:50:24 報告
5
Identity  恒等式変形ですか。
prime 132さん:ありがとうございます。
        勉強になりました。
クロニャンコ さん 2019/10/04 22:02:16 報告
6
Soln. 5 Let u = x/(x^2+y^2) with xy not 0 ^^
uをどのように利用するのか?教えてください。
クロニャンコ さん 2019/10/05 08:06:26 報告
7
おじゃま虫です。
Soln. 5 はよく分かりません。。。。

[式:…]
[式:…]
とおけば、
1 = x^2 + y^2 = X + Y,
3x^2 + 6xy - 5y^2 = 4X - 6Y,
よって本問は・・・・

非負実数 X≧0, Y≧0 が X+Y=1 を満たすとき、4X-6Y の最大値と最小値を求めよ。
prime_132 さん 2019/10/10 10:22:36 報告
8
おじゃまのついでに・・・・

Soln. 1
x,y の2次同次式なので
[式:…]
とする。
 (3-k) + 6t - (5+k) t^2 = 0,
この2次方程式が実根tをもつ条件は、判別式D≧0,
 0 ≦ D = 9 + (3-k)(5+k) = (4-k)(6+k),
 -6 ≦ k ≦ 4,
「それは誰でも分かりますがな・・・・」
prime_132 さん 2019/10/10 20:17:47 報告