Review 2019 明治大/理工 3️⃣

  • 公開日時: 2019/02/09 15:47
  • 閲覧数: 395
  • コメント数: 2
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
おじゃま虫です。

(1)
点P(x=t)における値と傾きが共に等しいから
 t^n = a log(t),
 n t^{n-1} = a/t,
∴ a = e n,  t = e^{1/n},

(2)
[式:…]

[式:…]

∴ S_2 / S_1 = (n+1) a t^{-n} (1/t + log(t) -1)
  = (n+1)n (e^{-1/n} + 1/n -1),   ・・・・(1)より

(3)
 e^{-x} ≦ 1,
0~x で逐次積分して
 1 - e^{-x} ≦ x,
 x -1 + e^{-x} ≦ xx/2,   ・・・・(a)
 xx/2 -x +1 - e^{-x} ≦ xxx/6,  ・・・(b)

(4)
  (3)から
 1/(2nn) - 1/(6n^3) ≦ e^{-1/n} + 1/n - 1 ≦ 1/(2nn),
∴ S_2 / S_1 → 1/2 (n→∞)
prime_132 さん 2019/02/12 12:52:04 報告
2
Perfect !
近谷邦彦 さん 2019/02/12 13:56:22 報告
$n$を正の整数, $a$を正の実数とする. 曲線$y=x^n$と曲線$y=a\log x$が, 点$P$で共通の接線を もつとする. ただし, 対数は自然対数である. 点$P$の$x$座標を$t$とするとき, 以下の問いに 答えよ. \vskip 0.05 in (1) $a,\ t$をそれぞれ$n$を用いて表せ. (2) 曲線$y=x^n$と$x$軸および直線$x=t$で囲まれる部分の面積を$S_1$とする. また, 曲線$y=a\log x$と$x$軸および直線$x=t$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする. このとき, \vskip 0.05 in $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$n$を用いて表せ. \vskip 0.1 in (3) $x\geq 0$のとき, 不等式 $\displaystyle \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leq e^{-x}+x-1\leq \frac{x^2}{2}$ \vskip 0.1 in が成り立つことを, 次の(a), (b)に分けて示せ. ただし, $e$は自然対数の底とする. \vskip 0.1 in (a) $x\geq 0$のとき, 不等式$\displaystyle e^{-x}+x-1\leq \frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ. \vskip 0.05 in (b) $x\geq 0$のとき, 不等式$\displaystyle \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leq e^{-x}+x-1$が成り立つことを示せ. \vskip 0.2 in (4) 極限値 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ. \begin{flushright}(配点率 20\%)\end{flushright} \begin{flushright}2005 阪 大/理系\end{flushright}