複素数平面の興味深い問題です!典型的な解法は如何に?

sss さん

  • 公開日時: 2018/11/22 01:07
  • 閲覧数: 288
  • コメント数: 7
  • カテゴリ: 入試・教育

『αを虚数(実数ではない複素数)とし、複素数平面上の3点A(α)、B(-α)、C(α^2)を通る円を考える。αがどのような虚数であっても、この円が通過する定点がただ1つあることを示し、その点を求めよ』

極力本質的な美しい解法はどのように考えたらよいのでしょうか? ご教授ください! 宜しくお願いいたします。

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1
>極力本質的な美しい解法はどのように考えたらよいのでしょうか?
 
 3点;(a, b); (-a, -b); (a^2 - b^2, 2 a b)を通る 円を 
       素直に 提示し(容易です) ;
 2 a^5 y-2 a^4 b x+2 a^4 b+4 a^3 b^2 y-2 a^3 y-4 a^2 b^3 x
 +4 a^2 b^3-2 a^2 b x^2+2 a^2 b x-2 a^2 b y^2+2 a b^4 y
 -2 a b^2 y-2 b^5 x+2 b^5-2 b^3 x^2+2 b^3 x-2 b^3 y^2=0
 
  これ KARA ● (a,b)∈R^2-{0,0} について 恒等式になるよう
   要求すれば (x,y)=(1,0) を 獲て ● 恒に (1,0)を通る円。
    [醜い解法と云われても 構いません!]  
 
http://izumi-math.jp/F_Nakamura/mebius/mebius_12.htm

流行の改竄を為し 例えば;
 3点A(α)、B(-α)、C(α^n) [ n∈{3,4,,,,2018,...} ]
  を通る円を考えたら 如何?
 
    
@t さん 2018/11/22 09:42:56 報告
2

 a[n + 1] = a[n]/(2*a[n] - 3), a[1] = 1 + I
  なる 漸化式を解き
 
 (解の例; {1 + I, 1/5 - (3 I)/5, 1/41 + (9 I)/41, 1/365 - (27 I)/365,
1/3281 + (81 I)/3281, 1/29525 - (243 I)/29525,
1/265721 + (729 I)/265721, 1/2391485 - (2187 I)/2391485,
1/21523361 + (6561 I)/21523361, 1/193710245 - (19683 I)/193710245,
1/1743392201 + (59049 I)/1743392201,
1/15690529805 - (177147 I)/15690529805,
1/141214768241 + (531441 I)/141214768241,
1/1270932914165 - (1594323 I)/1270932914165})

如何なる 3 点を通る円も 完全に一致することを

>極力本質的な美しい解法

等 を [醜い解法をも含め] 示して下さい;
   
@t さん 2018/11/22 10:43:28 報告
3
おじゃマムシです。

中心がβ、半径がrの円周は
[式:…]
である。ところで
[式:…]
[式:…]
より 恒等式
[式:…]
が出る。
[式:…]
とおけば
[式:…]
また
[式:…]
とおけば
[式:…]
だから
[式:…]

( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 322)
prime_132 さん 2018/11/24 00:10:31 報告
4
複素数[式:…]に対してその共役複素数を[式:…]で表す.

[式:…]を実数ではない複素数とする.
複素平面内の円Cが 1,-1, [式:…] を通るならば, C は[式:…]

も通ることを示せ.

2004 京 大
近谷邦彦 さん 2018/11/28 08:03:39 報告
5
複素数 α に対してその共役[共軛]複素数を conjugate(α) で表す.
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BB%9B

         αを実数ではない複素数とする.
複素平面内の円Cが 1,-1, α を通るならば, C は -1/conjugate(α)
も通ることを示せ.

2004 京 大 近谷邦彦 さん 2018/11/28 08:03:39


        実部,虚部にワケタガール 少女 A 曰く;
  その3点{x1, y1} = {1, 0}; {x2, y2} = {-1, 0}; {x3, y3} = {a, b}
     を 通る 円は 容易に↓に 獲られ ;
  C(a,b); 2*b*x^2 + 2*b*y^2 + 2*y - 2*a^2*y - 2*b^2*y - 2*b=0
  此れは  {-(a/(a^2 + b^2)), -(b/(a^2 + b^2))}を通る。
      こと KARA 九大の問題 の 及第点 を獲る。
 https://imikaisetu.goldencelebration168.com/archives/917
          京都大学の悶題との糊塗
          
          
 
 (1)  C(a,b) の 双対曲線 C(a,b)^★
  を もう 辟易「うんざり はちべい」でせうが
    多様な発想で 必ず 求めて下さい;
        (そして 各発想を此処に 投稿願います)
         (<---●世界中の 人の 関心事ですので ) 
        
      c の双対曲線c^★を 射影化し 求める人々がゐた;
 https://www.youtube.com/watch?v=lGc_9UlFm-M
 ■■■ 受講者諸氏 に 倣い  ■■■
    #MeToo(ハッシュタグ ミートゥー)
    と  宣言し  射影化し 求めて下さい;
     「#We Too」 運動を提唱し。    
        
  
    a+b*I (a,b) を 具体的に定め
不定方程式(Diophantine equation)達 を 是非解いて下さい;

(2) C(a,b)∩Z^2

(3) C(a,b)^★∩Z^2
@t さん 2018/11/28 14:55:54 報告
6
>>2
[式:…]
とおくと、
[式:…]
よって
[式:…]
[式:…]

ところで [式:…] は 1/2 を通り虚軸に平行な直線だから、ζ(z) の零点が無数にある。
そのこととは関係ないが、その逆数は円である。
[式:…]

>>4
[式:…] とおけば 3. と同様にして
[式:…]
[式:…]
これらより
[式:…]

ところで、円Cは 1, -1 を通るから虚軸について対称である。
[式:…]

>>5
[式:…]

Cの中心γは虚軸上にある。
[式:…]
prime_132 さん 2018/11/29 07:11:40 報告
7
\[Alpha]を零以外の任意の複素数、\[Beta]、\[Gamma]を上半平面に属する複素数か正の実数かのどちらかで\[Beta]/\[Gamma]が有理数ではないものとするとき、三つの関数exp (\[Alpha]\[Tau])、j (\[Beta]\[Tau])、j (\[Gamma]\[Tau]) は複素数体上代数的独立であることを示せ
@t さん 2018/11/29 07:30:16 報告